Dimostrazione dell'unicità del limite di successione

[darkangel65]

in una dimostrazione dell'unicità del limite di successione
ovviamente si suppone che il limite di una successione non sia unico,bensì che limiti siano due: l1=a ed l2=a'.
si applica la definizione di limite due volte,per l1 ed l2
e poi viene posto che ${\epsilon = \frac{\|a-a'\|}{2}>0}$
non riesco a capire secondo quale criterio sceglie $\epsilon$ ..non capisco come ci arriva! potreste aiutarmi?

[Seneca1]

Se consideri una successione $x_n : NN -> RR$ e fissi due punti $a, a'$ sull'asse delle $y$, prendere $epsilon = | a - a' |/2$ è comodo perché così gli intorni dei due punti $a', a$ che fissi arbitrariamente nelle definizioni di limite sono disgiunti. Li puoi fissare arbitrariamente...

[darkangel65]

si,secondo la definizione $\forall \epsilon >0$ vale questa proprietà,ma si considera quella $\epsilon$ affinchè non si prenda una $\epsilon$ che stia solo in uno dei due intorni?

[Seneca1]

"darkangel65":si,secondo la definizione $\forall \epsilon >0$ vale questa proprietà,ma si considera quella $\epsilon$ affinchè non si prenda una $\epsilon$ che stia solo in uno dei due intorni?

Non si capisce cosa vuoi dire... $epsilon$ è l'ampiezza dell'intorno fissato. Se in entrambe le definizioni di limite che hai scritto ( per $a$ e per $a'$ ) fissi QUELL' $epsilon$ , hai che in corrispondenza trovi (cioè esistono) due ben precisi $bar n , bar n '$. Per $n > bar n$ i punti della successione devono cadere tra $a - epsilon$ e $a + epsilon$. Per $n > bar n '$ i punti della successione devono cadere tra $a' - epsilon$ e $a' + epsilon$. Quindi per $n* = max { bar n , bar n '}$ i punti della successione devono cadere sia in $( a - epsilon , a + epsilon )$ che in $(a' - epsilon , a' + epsilon)$ che è assurdo. Avendo preso infatti quell'$epsilon$, si ha che

$( a - epsilon , a + epsilon ) nn (a' - epsilon , a' + epsilon)$ è vuoto.

[darkangel65]

ok,ok va bene. faccio un po' di confusione :p devo schiarire un po' le idee :/

[darkangel65]

ok facendo il grafico,mi è più chiaro. se io ho un intorno d'ampiezza $\epsilon$ in a e un altro intorno della stessa ampiezza,ma puntato in a' e pongo $\epsilon =\frac{ \|a-a'\|}{2}$ faccio in modo che sia impossibile che i punti della mia successione da un certo punto in poi cadano in entrambi i miei intorni,giusto?

[Seneca1]

Perfetto. Questo perché $epsilon$ lo puoi scegliere arbitrariamente.

[darkangel65]

grazie mille,mi sei davvero stato d'aiuto! e cmq ottima scelta per il nick! adoro seneca! grazie ancora!

[Seneca1]

Figurati; aggiungo una piccola curiosità. Nell'ambiente in cui stai studiando tu la teoria del limite, è vero che il limite è unico. Se lavori con spazi topologici che non sono di Hausdorff, invece, il limite perde questo "privilegio" proprio perché non è detto che tu possa scegliere due aperti disgiunti tali che uno contenga $a$ e l'altro contenga $a'$.

Inoltre ti segnalo questo: http://www.batmath.it/stampa/manuali/unic_limite.pdf

[darkangel65]

interessante! la matematica è una continua scoperta!