Dimostrazione dell'inifinitesimalita' di una successione
ciao a tutti,
ho un problema con un esercizio di dimostrazione:
devo dimostrare che la successione: ${(-1)^n / (1+n^2)}_n$ è infinitesimale.
a questo punto mi sono detto: "una succ numerica è infinitesimale se converge a 0, ovvero se esiste un $\epsilon > 0$ tale che a partire da un certo $n$ in poi $|x_n| < \epsilon$". Quindi ho scritto questo: $|(-1)^n/(1+n^2)| < \epsilon$ ma questo asintoticamente è uguale a scrivere: $|(-1)^n/n^2| < \epsilon$ e per verificare che tende effettivamente a $0$ mi basta trovare: $Lim _{n \to \infty}|(-1)^n/n^2|$ il quale è uguale appunto a $0$.
ho sparato cavolate?
ho un problema con un esercizio di dimostrazione:
devo dimostrare che la successione: ${(-1)^n / (1+n^2)}_n$ è infinitesimale.
a questo punto mi sono detto: "una succ numerica è infinitesimale se converge a 0, ovvero se esiste un $\epsilon > 0$ tale che a partire da un certo $n$ in poi $|x_n| < \epsilon$". Quindi ho scritto questo: $|(-1)^n/(1+n^2)| < \epsilon$ ma questo asintoticamente è uguale a scrivere: $|(-1)^n/n^2| < \epsilon$ e per verificare che tende effettivamente a $0$ mi basta trovare: $Lim _{n \to \infty}|(-1)^n/n^2|$ il quale è uguale appunto a $0$.
ho sparato cavolate?
Risposte
Mmm, non capisco molto bene i passaggi che fai. Al fine di dimostrare che una successione converga a zero è sufficiente esibire, $\forall \epsilon>0$ un $N\in NN$ tale che $\forall n>N$ si ha che $|(-1)^n/(n^2+1)|<\epsilon$. In pratica devi risolvere una disequazione:
$|(-1)^n/(1+n^2)|<\epsilon => |1/(1+n^2)|<\epsilon=> 1/(1+n^2)<\epsilon$, risolvi rispetto ad n ed hai finito.
Un modo furbo è quello di maggiorare:
$|(-1)^n/(1+n^2)|< 1/(n^2)<\epsilon$, percui se determini $n$ tale che venga soddisfatta la disequazione $1/n^2<\epsilon$ allora questo $n$ è buono anche per far vedere che vale:
$|(-1)^n/(1+n^2)|<\epsilon$.
Spero di essere stato abbastanza chiaro, nel caso no sia così fatti sentire
$|(-1)^n/(1+n^2)|<\epsilon => |1/(1+n^2)|<\epsilon=> 1/(1+n^2)<\epsilon$, risolvi rispetto ad n ed hai finito.
Un modo furbo è quello di maggiorare:
$|(-1)^n/(1+n^2)|< 1/(n^2)<\epsilon$, percui se determini $n$ tale che venga soddisfatta la disequazione $1/n^2<\epsilon$ allora questo $n$ è buono anche per far vedere che vale:
$|(-1)^n/(1+n^2)|<\epsilon$.
Spero di essere stato abbastanza chiaro, nel caso no sia così fatti sentire
non so come potresti spiegarlo in modo piu' chiaro grazie 
grazie
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