Dimostrazione dell'esistenza della derivata destra e sinistra per una funzione convessa
Se il rapporto incrementale è limitato è vero che esistono sempre derivate destre e sinistre ?
O diversamente (spero di non dire assurdità) : se una funzione è convessa esiste sempre la derivata destra e/o sinistra ? Come faccio a dimostrare questo risultato ?
ps : diverso è dire che una funzione convessa è derivabile in tutti i punti (dov'è definita.In questo caso l'affermazione è sbagliata,giusto?
ps^2 : ora che ci penso una funzione convessa è sempre liptchiziana ,giusto?
O diversamente (spero di non dire assurdità) : se una funzione è convessa esiste sempre la derivata destra e/o sinistra ? Come faccio a dimostrare questo risultato ?
ps : diverso è dire che una funzione convessa è derivabile in tutti i punti (dov'è definita.In questo caso l'affermazione è sbagliata,giusto?
ps^2 : ora che ci penso una funzione convessa è sempre liptchiziana ,giusto?
Risposte
Una proprietà che discende proprio dalla definizione di convessità è che, comunque si fssi un punto \(x_0\) interno all'intervallo di definizione \(I\) di una funzione convessa \(f\), la funzione:
\[
\phi (x;x_0) := \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\]
definita in \(I\setminus \{x_0\}\) (che descrive l'andamento dei rapporti incrementali centrati in \(x_0\)) è una funzione crescente; dato che, per \(\delta >0\) "piccolo" i punti \(x_0\pm \delta\) sono interni a \(I\setminus \{x_0\}\), risulta:
\[
\forall x \in ]x_0-\delta ,x_0+\delta[\setminus \{x_0\},\ -\infty < \phi (x_0-\delta ;x_0)\leq \phi (x;x_0)\leq \phi (x_0+\delta ;x_0)<\infty\; ,
\]
dunque \(\phi (\cdot; x_0)\) è definitivamente limitata intorno a \(x_0\); poiché una funzione monotona limitata ha sempre limite destro e sinistro finiti, esistono finiti entrambi:
\[
\lim_{x\to x_0^-} \phi (x;x_0) \qquad \text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+} \phi (x;x_0)
\]
che sono, rispettivamente, la derivata a sinistra e la derivata a destra di \(f\) in \(x_0\). Denotati tali due limiti con \(f_s^\prime (x_0)\) ed \(f_d^\prime (x_0)\) (o, come usa in testi "vecchiotti", con \(f^\prime (x_0^-)\) ed \(f^\prime (x_0^+)\)), per monotonia si ha evidentemente:
\[
f_s^\prime (x_0)\leq f_d^\prime (x_0)\; ,
\]
ma in generale non vale l'uguaglianza, dunque \(f\) non è tenuta ad essere derivabile in \(x_0\). Un classico esempio di questa eventualità è la funzione \(f(x):=|x|\) (la quale è convessa per le proprietà del valore assoluto), per cui si ha \(f_s^\prime (0)=-1\neq 1=f_d^\prime (0)\).
Per quanto riguarda la lipschitzianità, essa vale, in generale, solo localmente intorno ad i punti interni all'intervallo di fefinizione. Un classico esempio è fornito dalla funzione convessa \(f(x):=-\sqrt{1-x^2}\) in \([-1,1]\), la quale è lipschitziana intorno ad ogni punto di \(]-1,1[\), ma non è lipschitziana globalmente in \([-1,1]\).
\[
\phi (x;x_0) := \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
\]
definita in \(I\setminus \{x_0\}\) (che descrive l'andamento dei rapporti incrementali centrati in \(x_0\)) è una funzione crescente; dato che, per \(\delta >0\) "piccolo" i punti \(x_0\pm \delta\) sono interni a \(I\setminus \{x_0\}\), risulta:
\[
\forall x \in ]x_0-\delta ,x_0+\delta[\setminus \{x_0\},\ -\infty < \phi (x_0-\delta ;x_0)\leq \phi (x;x_0)\leq \phi (x_0+\delta ;x_0)<\infty\; ,
\]
dunque \(\phi (\cdot; x_0)\) è definitivamente limitata intorno a \(x_0\); poiché una funzione monotona limitata ha sempre limite destro e sinistro finiti, esistono finiti entrambi:
\[
\lim_{x\to x_0^-} \phi (x;x_0) \qquad \text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+} \phi (x;x_0)
\]
che sono, rispettivamente, la derivata a sinistra e la derivata a destra di \(f\) in \(x_0\). Denotati tali due limiti con \(f_s^\prime (x_0)\) ed \(f_d^\prime (x_0)\) (o, come usa in testi "vecchiotti", con \(f^\prime (x_0^-)\) ed \(f^\prime (x_0^+)\)), per monotonia si ha evidentemente:
\[
f_s^\prime (x_0)\leq f_d^\prime (x_0)\; ,
\]
ma in generale non vale l'uguaglianza, dunque \(f\) non è tenuta ad essere derivabile in \(x_0\). Un classico esempio di questa eventualità è la funzione \(f(x):=|x|\) (la quale è convessa per le proprietà del valore assoluto), per cui si ha \(f_s^\prime (0)=-1\neq 1=f_d^\prime (0)\).
Per quanto riguarda la lipschitzianità, essa vale, in generale, solo localmente intorno ad i punti interni all'intervallo di fefinizione. Un classico esempio è fornito dalla funzione convessa \(f(x):=-\sqrt{1-x^2}\) in \([-1,1]\), la quale è lipschitziana intorno ad ogni punto di \(]-1,1[\), ma non è lipschitziana globalmente in \([-1,1]\).
Ti ringrazio,mi è stato parecchio utile !
ps : se una funzione è monotona limitata allora esistono sempre i limiti destro e sinistro.
Ho un sacco di cose che mi frullano per la testa..come si potrebbe dimostrare ?
ps : se una funzione è monotona limitata allora esistono sempre i limiti destro e sinistro.
Ho un sacco di cose che mi frullano per la testa..come si potrebbe dimostrare ?
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