Dimostrazione della non esistenza del sup
Salve, sono in difficoltà..
Non riesco a dimostrare che $gamma={p in Q: p^2<2}$ non ha sup.
Vorrei far vedere se $m=$sup$gamma$ non può essere ne $m^2<2$ ne $m^2>2$ per poi ricadere nel caso noto $sqrt{2} in R-Q$
Un'idea è che tra due razionali posso sempre trovarne un terzo compreso, ma non saprei come far vedere che posso trovare un quadrato..
Non riesco a dimostrare che $gamma={p in Q: p^2<2}$ non ha sup.
Vorrei far vedere se $m=$sup$gamma$ non può essere ne $m^2<2$ ne $m^2>2$ per poi ricadere nel caso noto $sqrt{2} in R-Q$
Un'idea è che tra due razionali posso sempre trovarne un terzo compreso, ma non saprei come far vedere che posso trovare un quadrato..
Risposte
Ciao.
L'idea è più o meno la seguente.
Se $m^2<2$ vogliamo far vedere che $m$ non ce la fa ad essere maggiorante, se $m^2>2$ facciamo vedere che $m$ non ce la fa ad essere il più piccolo dei maggioranti: hai capito?
Si fa così. Supponiamo $m^2<2$ e sia $epsilon>0$. Allora $(m+epsilon)^2=m^2+epsilon^2+2mepsilon < m^2 + epsilon(2m+1)$ (a patto di scegliere $epsilon<1$, cosa che è lecita).
A questo punto ci chiediamo: riusciamo a beccare almeno un $epsilon$ per cui $m^2 + epsilon(2m+1)<2$? Be', sì, perchè se $epsilon<(2-m^2)/(2m+1)$ ci siamo: giusto?
Allora è fatta: scegliamo $epsilon < "min"{1,(2-m^2)/(2m+1)}$ e abbiamo provato che $m$ non è maggiorante. E' chiaro?
L'altro pezzo si fa in maniera analoga: sei in grado di continuare da solo?
Se hai ancora bisogno fai un fischio.
L'idea è più o meno la seguente.
Se $m^2<2$ vogliamo far vedere che $m$ non ce la fa ad essere maggiorante, se $m^2>2$ facciamo vedere che $m$ non ce la fa ad essere il più piccolo dei maggioranti: hai capito?
Si fa così. Supponiamo $m^2<2$ e sia $epsilon>0$. Allora $(m+epsilon)^2=m^2+epsilon^2+2mepsilon < m^2 + epsilon(2m+1)$ (a patto di scegliere $epsilon<1$, cosa che è lecita).
A questo punto ci chiediamo: riusciamo a beccare almeno un $epsilon$ per cui $m^2 + epsilon(2m+1)<2$? Be', sì, perchè se $epsilon<(2-m^2)/(2m+1)$ ci siamo: giusto?
Allora è fatta: scegliamo $epsilon < "min"{1,(2-m^2)/(2m+1)}$ e abbiamo provato che $m$ non è maggiorante. E' chiaro?
L'altro pezzo si fa in maniera analoga: sei in grado di continuare da solo?
Se hai ancora bisogno fai un fischio.
"Paolo90":
Allora $(m+epsilon)^2=m^2+epsilon^2+2mepsilon < m^2 + epsilon(2m+1)$ (a patto di scegliere $epsilon<1$, cosa che è lecita).
Che rimbambito
Avevo pensato ad una cosa simile ma non a togliermi dalle scatole $epsilon^2$ per trovarne uno che verificasse la condizione facilmente..
Grazie Paolo90!
Figurati. E' tutto chiaro? Sei riuscito a terminare la dimostrazione anche nel caso $m^2>2$?
Si grazie mille!
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