Dimostrazione della divergenza della serie armonica
Salve, il mio libro di analisi 1 (Marcellini-Sbordone) propone, come esercizio, una dimostrazione alternativa della divergenza della serie armonica tramite il criterio di Cauchy. Non saprei proprio come iniziare...mi sapreste dare qualche linea guida? (In realtà la cosa che mi preme sapere è, in generale, come impostare il ragionamento con una serie qualunque)
Grazie anticipatamente!
Grazie anticipatamente!
Risposte
Prendi $\epsilon=1/2$ e fai vedere che la condizione di Cauchy non è soddisfatta per questo $\epsilon$.
Dire come si procederebbe in generale è difficile, se si sa già che diverge bisogna analizzare bene il motivo per cui sappiamo essere divergente e "tradurlo" nella condizione di Cauchy, cosa che non necessariamente è effettivamente fattibile.
Se invece non si sa se converge o diverge mi sembra una pessima idea cercare di fare l'esercizio col criterio di Cauchy, tranne in alcuni casi particolari come questo o dimostrare che una serie assolutamente convergente è convergente (dimostralo per esercizio usando il criterio di Cauchy!).
Dire come si procederebbe in generale è difficile, se si sa già che diverge bisogna analizzare bene il motivo per cui sappiamo essere divergente e "tradurlo" nella condizione di Cauchy, cosa che non necessariamente è effettivamente fattibile.
Se invece non si sa se converge o diverge mi sembra una pessima idea cercare di fare l'esercizio col criterio di Cauchy, tranne in alcuni casi particolari come questo o dimostrare che una serie assolutamente convergente è convergente (dimostralo per esercizio usando il criterio di Cauchy!).
Per assurdo converga: preso $\epsilon=\frac{1}{2}$, esiste $\nu$ a partire dal quale per ogni $p in NN$ si ha
$\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{n+p}<\frac{1}{2}$
Ora, sapendo già che diverge, si vede che esiste qualche $p$ che non va bene, ma non riesco a trovarlo (ho provato sia con la disuglianza $s_n>log(n+1)$ che maggiorando la serie armonica con la geometrica di ragione $\frac{1}{2}$ ma non ne sono uscito)
L'applicazione di Cauchy per l'assoluta convergenza è qualcosa che ho fatto a lezione e mi è molto chiara
$\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{n+p}<\frac{1}{2}$
Ora, sapendo già che diverge, si vede che esiste qualche $p$ che non va bene, ma non riesco a trovarlo (ho provato sia con la disuglianza $s_n>log(n+1)$ che maggiorando la serie armonica con la geometrica di ragione $\frac{1}{2}$ ma non ne sono uscito)
L'applicazione di Cauchy per l'assoluta convergenza è qualcosa che ho fatto a lezione e mi è molto chiara
Non so quale sia la dimostrazione del libro che citi, ma c'è una dimostrazione per assurdo: supponi che la serie $\sum \frac{1}{n}$ converga a un valore $\alpha$; allora
\[
\alpha = 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots\ge
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} +\dots = \alpha+\frac{1}{2}
\] Questo è assurdo.
\[
\alpha = 1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\dots\ge
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} +\dots = \alpha+\frac{1}{2}
\] Questo è assurdo.
@killing_buddha ero in cerca di una dimostrazione della divergenza della serie armonica che partisse dal criterio di Cauchy, solo che non riesco proprio a impostarla! Forse potrei usare anche questa disuglianza che hai scritto...a proposito perché fa $\alpha+\frac{1}{2}$??
Il fatto è questo, statemi a sentire (cit.)...
Chiama, come al solito:
\[
s_n := \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}
\]
le somme parziali della serie armonica. Per provare che la serie non soddisfa il C.d.C. basta far vedere che:
\[
\exists \bar{\varepsilon} > 0:\ \forall \nu \in \mathbb{N},\ \exists n,m \geq \nu:\ |s_n-s_m|\geq \bar{\varepsilon}\; .
\]
Scegliamo arbitrariamente un indice $n$ e fissiamo $m=3n$; in tal caso abbiamo:
\[
|s_n-s_{3n}| = \sum_{k=n+1}^{3n} \frac{1}{k} \geq \underbrace{\frac{1}{3n} + \cdots+ \frac{1}{3n}}_{2 n \text{ volte}} = \frac{2}{3}\; ;
\]
dunque, esiste \(\bar{\varepsilon} = \frac{2}{3} >0 \) in guisa che per ogni $nu in NN$ esistono $n=nu$ e $m=3nu$ tali che $|s_n - s_m|>= 2/3$ e ciò è quello che ci serviva.
Chiama, come al solito:
\[
s_n := \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}
\]
le somme parziali della serie armonica. Per provare che la serie non soddisfa il C.d.C. basta far vedere che:
\[
\exists \bar{\varepsilon} > 0:\ \forall \nu \in \mathbb{N},\ \exists n,m \geq \nu:\ |s_n-s_m|\geq \bar{\varepsilon}\; .
\]
Scegliamo arbitrariamente un indice $n$ e fissiamo $m=3n$; in tal caso abbiamo:
\[
|s_n-s_{3n}| = \sum_{k=n+1}^{3n} \frac{1}{k} \geq \underbrace{\frac{1}{3n} + \cdots+ \frac{1}{3n}}_{2 n \text{ volte}} = \frac{2}{3}\; ;
\]
dunque, esiste \(\bar{\varepsilon} = \frac{2}{3} >0 \) in guisa che per ogni $nu in NN$ esistono $n=nu$ e $m=3nu$ tali che $|s_n - s_m|>= 2/3$ e ciò è quello che ci serviva.
Perfetto, grazie mille gugo82
Quello che avevo in mente io è simile a quanto fatto da Gugo82, infatti preso $\epsilon=1/2,n\inNN$ qualsiasi, basta prendere $n_0>n$ e $m=2n_0$, allora $\sum_{i=n_0+1}^(2n_0) 1/i>=\sum_{i=n_0+1}^(2n_0) 1/(2n_0)=n_0*1/(2n_0)=1/2$.
@otta96: In realtà ho solo voluto rendere le cose meno banali di quel che sono usando $2/3$ al posto di $1/2$.
Infatti, in generale, si vede che scelti arbitrariamente $n,p in NN$ con $p>=2$ risulta:
\[
s_{pn}-s_n \geq \frac{p-1}{p}\; .
\]
Infatti, in generale, si vede che scelti arbitrariamente $n,p in NN$ con $p>=2$ risulta:
\[
s_{pn}-s_n \geq \frac{p-1}{p}\; .
\]
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