Dimostrazione del Teorema di Weierstrass
Mentre stavo studiando la dimostrazione del Teorema di Weierstrass su questo PDF (a pagina 2) http://calvino.polito.it/canuto-tabacco/analisi_1/funzcont.pdf, consigliato dal mio professore di Analisi Matematica I, ho incontrato un dubbio che non riesco in alcun modo a chiarire.
La dimostrazione viene fatta per il massimo. Se $ f $ ammette massimo in $ [a ; b] $ allora
deve esistere un punto $ c in [a;b] $ (al posto di $c$ lì c'è una lettera greca) tale che $f(x)<=f(c)$, $ AA x in [a;b]$.
Fin qui è tutto chiaro.
Poniamo $ M = $ sup$f([a;b])$, cioè M è l'estremo superiore dell'immagine di $[a;b]$.
Se $M in cc(R) $ e in particolare è $ M != +oo$ (questo caso lo si esamina più avanti), allora
$ AA n>=1 $, $EE x_n in [a;b] $ tale che
$ M - 1/n < f(x_n) <= M $
E qui c'è qualcosa che non mi torna. Per definizione di estremo superiore $ f(x_n) <= M, AA x in [a;b]$. Ok!
Ma perché $ M - 1/n < f(x_n)$ ??
La dimostrazione viene fatta per il massimo. Se $ f $ ammette massimo in $ [a ; b] $ allora
deve esistere un punto $ c in [a;b] $ (al posto di $c$ lì c'è una lettera greca) tale che $f(x)<=f(c)$, $ AA x in [a;b]$.
Fin qui è tutto chiaro.
Poniamo $ M = $ sup$f([a;b])$, cioè M è l'estremo superiore dell'immagine di $[a;b]$.
Se $M in cc(R) $ e in particolare è $ M != +oo$ (questo caso lo si esamina più avanti), allora
$ AA n>=1 $, $EE x_n in [a;b] $ tale che
$ M - 1/n < f(x_n) <= M $
E qui c'è qualcosa che non mi torna. Per definizione di estremo superiore $ f(x_n) <= M, AA x in [a;b]$. Ok!
Ma perché $ M - 1/n < f(x_n)$ ??
Risposte
Benvenuto! 
Nulla di strano, tranquillo. La caratterizzazione del sup in $RR$ è la seguente.
"Dato un sottoinsieme non vuoto $A subseteq RR$, si dice che $b="sup"A iff$
1. $b>=a, " " forall a in A$ ($b$ è maggiorante)
2. $forall epsilon>0, " " exists a in A " tale che " b-epsilon
Riesamina il tuo dubbio dopo aver letto il punto 2); in particolare, le dispense di Canuto-Tabacco prendono $epsilon=1/n$, con $n$ positivo.
Più chiaro ora?
Buono studio e buona permanenza.
"pier.armeli":
E qui c'è qualcosa che non mi torna. Per definizione di estremo superiore $ f(x_n) <= M, AA x in [a;b]$. Ok!
Ma perché $ M - 1/n < f(x_n)$ ??
Nulla di strano, tranquillo. La caratterizzazione del sup in $RR$ è la seguente.
"Dato un sottoinsieme non vuoto $A subseteq RR$, si dice che $b="sup"A iff$
1. $b>=a, " " forall a in A$ ($b$ è maggiorante)
2. $forall epsilon>0, " " exists a in A " tale che " b-epsilon
Riesamina il tuo dubbio dopo aver letto il punto 2); in particolare, le dispense di Canuto-Tabacco prendono $epsilon=1/n$, con $n$ positivo.
Più chiaro ora?
Buono studio e buona permanenza.
"Paolo90":
Benvenuto!
[quote="pier.armeli"]
E qui c'è qualcosa che non mi torna. Per definizione di estremo superiore $ f(x_n) <= M, AA x in [a;b]$. Ok!
Ma perché $ M - 1/n < f(x_n)$ ??
Nulla di strano, tranquillo. La caratterizzazione del sup in $RR$ è la seguente.
"Dato un sottoinsieme non vuoto $A subseteq RR$, si dice che $b="sup"A iff$
1. $b>=a, " " forall a in A$ ($b$ è maggiorante)
2. $forall epsilon>0, " " exists a in A " tale che " b-epsilon
Riesamina il tuo dubbio dopo aver letto il punto 2); in particolare, le dispense di Canuto-Tabacco prendono $epsilon=1/n$, con $n$ positivo.
Più chiaro ora?
Buono studio e buona permanenza.
[/quote]Ah .. ok!! E' stata la scelta arbitraria di $epsilon=1/n$ che mi ha messo in crisi!! La scelta è stata fatta tale altrimenti il limite che calcolano dopo non sarebbero riusciti a trovarlo ..
Grazie!
Sì, esatto: si prende $epsilon=1/n$ per poi applicare il confronto, se non sbaglio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo