Dimostrazione del Teorema di Taylor
Salve ragazzi.
A breve ho da dare l'orale di Analisi I / II, sto ripetendo un po' tutto. In particolare ora sto dando un'occhiata ai Teoremi sulle derivate (Fermat, Rolle, Lagrange, e quant'altro). Il mio professore, dopo aver dimostrato la validità della formula di Taylor con resto secondo Peano per $n=2$, ha lasciato per esercizio la conclusione della dimostrazione, che a quanto pare va fatta per induzione.
Nella mia breve esperienza, mi è parso di capire che solitamente gli analisti tante pippe inutili non se le fanno (o quantomeno non lo danno a vedere), ma non si sa mai, quindi ho cercato di essere il più rigoroso possibile. Chiedo un parere
Devo dimostrare che, per ogni $n$, se $f:(a,b)\to RR$ è derivabile $n-1$ volte in $(a,b)$ e $n$ volte in $x_0$, allora, per ogni $h$ tale che $x_0+h\in (a,b)$,
\[f(x_0+h)-P_n(h)= f(x_0+h)-\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k=o(h^n)\]
vale a dire che
\[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k}{h^n}=0\]
o equivalentemente che
\[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k}{h^n}=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\]
A questo punto avrei detto, senza farla troppo lunga, qualcosa tipo "applicando $n-1$ volte l'Ospedale si ottiene...e quindi la tesi". Ragiono invece per induzione di $n$; per $n=1$ non c'è granché da dimostrare. Suppongo vera la tesi per $n-1$. Dopo aver osservato che "si può fare", applicando De L'Hopital ottengo
\[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k}{h^n}\stackrel{\text{H}}{=}\lim_{h\to 0}\dfrac{f'(x_0+h)-\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{f^{(k+1)}(x_0)}{k!}h^k}{nh^{n-1}}=(\ast)\]
A questo punto uso l'ipotesi induttiva su $g:=f'$, per avere
\[(\ast)=\dfrac{1}{n}\dfrac{g^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\]
Ci vu di.
Potrei essere ancora più "palloso"?
Per esempio, ci sarebbe da dimostrare per induzione che $P_n^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)$ per $k\in\{1,...,n\}$ (il che è parecchio evidente...), ma così la dimostrazione diventa eterna... ._.
A breve ho da dare l'orale di Analisi I / II, sto ripetendo un po' tutto. In particolare ora sto dando un'occhiata ai Teoremi sulle derivate (Fermat, Rolle, Lagrange, e quant'altro). Il mio professore, dopo aver dimostrato la validità della formula di Taylor con resto secondo Peano per $n=2$, ha lasciato per esercizio la conclusione della dimostrazione, che a quanto pare va fatta per induzione.
Nella mia breve esperienza, mi è parso di capire che solitamente gli analisti tante pippe inutili non se le fanno (o quantomeno non lo danno a vedere), ma non si sa mai, quindi ho cercato di essere il più rigoroso possibile. Chiedo un parere
Devo dimostrare che, per ogni $n$, se $f:(a,b)\to RR$ è derivabile $n-1$ volte in $(a,b)$ e $n$ volte in $x_0$, allora, per ogni $h$ tale che $x_0+h\in (a,b)$,
\[f(x_0+h)-P_n(h)= f(x_0+h)-\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k=o(h^n)\]
vale a dire che
\[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k}{h^n}=0\]
o equivalentemente che
\[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k}{h^n}=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\]
A questo punto avrei detto, senza farla troppo lunga, qualcosa tipo "applicando $n-1$ volte l'Ospedale si ottiene...e quindi la tesi". Ragiono invece per induzione di $n$; per $n=1$ non c'è granché da dimostrare. Suppongo vera la tesi per $n-1$. Dopo aver osservato che "si può fare", applicando De L'Hopital ottengo
\[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k}{h^n}\stackrel{\text{H}}{=}\lim_{h\to 0}\dfrac{f'(x_0+h)-\sum_{k=0}^{n-2} \dfrac{f^{(k+1)}(x_0)}{k!}h^k}{nh^{n-1}}=(\ast)\]
A questo punto uso l'ipotesi induttiva su $g:=f'$, per avere
\[(\ast)=\dfrac{1}{n}\dfrac{g^{(n-1)}(x_0)}{(n-1)!}=\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\]
Ci vu di.
Potrei essere ancora più "palloso"?
Per esempio, ci sarebbe da dimostrare per induzione che $P_n^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0)$ per $k\in\{1,...,n\}$ (il che è parecchio evidente...), ma così la dimostrazione diventa eterna... ._.
Risposte
Quell'ultima cosa è ovvia, visto che $P$ è somma di due termini uno dei quali ha le derivate calcolate in $x_0$ tutte uguali a zero. Direi che sei stato abbastanza "palloso"... anche se un matematico, e in particolare proprio un analista, ti direbbe "rigoroso"!
Ovviamente scherzavo 
il fatto è che certe volte essere troppo rigorosi fa perder di vista la sostanza della faccenda...
Appunto, è un fatto ovvio, ma il testo che sto leggendo lo ritiene degno di dimostrazione, e ci spende non poche parole a proposito
il fatto è che certe volte essere troppo rigorosi fa perder di vista la sostanza della faccenda... "ciampax":
Quell'ultima cosa è ovvia, visto che $P$ è somma di due termini uno dei quali ha le derivate calcolate in $x_0$ tutte uguali a zero.
Appunto, è un fatto ovvio, ma il testo che sto leggendo lo ritiene degno di dimostrazione, e ci spende non poche parole a proposito
Ah sì? Si vede che gli piace fare i conti per benino.
"ciampax":
Ah sì? Si vede che gli piace fare i conti per benino.
Il che è bene, ma anziché perder tempo coi conti (e non limitarsi a fare quest'osservazione in un breve inciso) avrebbe potuto dedicarne di più ai marchesi (leggi: avrebbe potuto spiegar meglio in che modo usar De L'Hopital), e non costringermi a dedurlo da solo e far la dimostrazione daccapo
Grazie per le risposte, ciampax
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