Dimostrazione del Teorema di Fubini
Ciao a tutti! Stavo guardando la dimostrazione del teorema di Fubini generalizzato sul libro "E. M. Stein, R. Shakarchi - Real Analysis" e c'è un passaggio che non mi è chiaro. La dimostrazione si può trovare a pagina 278 dell'anteprima:
https://books.google.it/books?id=2Sg3Vug65AsC&pg=PA276&dq=elias+stein+general+fubini+theorem&hl=it&sa=X&ved=0ahUKEwim1OHv0tHQAhVC1xoKHXSMC_0Q6AEIJzAA#v=onepage&q=elias%20stein%20general%20fubini%20theorem&f=false
In pratica nella proposizione 3.1 dopo aver dimostrato la tesi per "rettangoli" e per insiemi della famiglia $\mathcal{A}_{\sigma}$, procede con il caso in cui l'insieme $E$ appartenga alla famiglia $\mathcal{A}_{\sigma\delta}$ e che $(\mu_1\times\mu_2) (E)<\infty$ (la definizione di $\mathcal{A}_{\sigma}$ e $\mathcal{A}_{\sigma\delta}$ si trova alla fine della pagina 277).
Ad un certo punto dice "Moreover, since $E\in\mathcal{A}_\sigma$ and $(\mu_1\times\mu_2)(E_1)<\infty$..." e a me questo non sembra corretto. L'ipotesi è che $(\mu_1\times\mu_2) (E)<\infty$, ma non ci sono assunzioni su $E_1$. Se infatti fosse $(\mu_1\times\mu_2) (E_j)=+\infty$ per ogni $j$, non si potrebbe utilizzare la continuità dall'alto della misura, così da non poter concludere la dimostrazione!
Spero qualcuno riesca a darmi una mano
https://books.google.it/books?id=2Sg3Vug65AsC&pg=PA276&dq=elias+stein+general+fubini+theorem&hl=it&sa=X&ved=0ahUKEwim1OHv0tHQAhVC1xoKHXSMC_0Q6AEIJzAA#v=onepage&q=elias%20stein%20general%20fubini%20theorem&f=false
In pratica nella proposizione 3.1 dopo aver dimostrato la tesi per "rettangoli" e per insiemi della famiglia $\mathcal{A}_{\sigma}$, procede con il caso in cui l'insieme $E$ appartenga alla famiglia $\mathcal{A}_{\sigma\delta}$ e che $(\mu_1\times\mu_2) (E)<\infty$ (la definizione di $\mathcal{A}_{\sigma}$ e $\mathcal{A}_{\sigma\delta}$ si trova alla fine della pagina 277).
Ad un certo punto dice "Moreover, since $E\in\mathcal{A}_\sigma$ and $(\mu_1\times\mu_2)(E_1)<\infty$..." e a me questo non sembra corretto. L'ipotesi è che $(\mu_1\times\mu_2) (E)<\infty$, ma non ci sono assunzioni su $E_1$. Se infatti fosse $(\mu_1\times\mu_2) (E_j)=+\infty$ per ogni $j$, non si potrebbe utilizzare la continuità dall'alto della misura, così da non poter concludere la dimostrazione!
Spero qualcuno riesca a darmi una mano
Risposte
sembra proprio un errore di battitura
Però mi sembra anche un errore concettuale... nel senso che considerandolo un errore di battitura e correggendolo con "Moreover, since $E\in \mathcal{A}_\sigma$ and $(\mu_1\times \mu_2)(E)<\infty$..." poi la dimostrazione non torna 
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