Dimostrazione del teorema della media integrale
Salve!
Il mio professore dimostra il teorema della media integrale dicendo che se f(x) è continua allora esistono massimo e minimo tra i quali la funzione è compresa.
$ m * (b-a) <= int_(a)^(b) f(x) dx <= M * (b-a) $
E fin qua ci sono. Però poi perchè nella seguente $ 1/(b-a) * int_(a)^(b) f(x) dx $ è il valore medio??
$ m <= 1/(b-a) int_(a)^(b) f(x) dx <= M $
E poi continua: quindi per il teorema dei valori intermedi esiste a <= c <= b tale che
$ int_(a)^(b) f(x) dx = f(c)*(b-a) $
però il teorema dei valori intermedi dice che: Sia $ I sube R $ un intervallo qualsiasi non necessariamente chiuso. Sia f:I->R continua e siano m l'estremo inferiore di f(x) in I e M l'estremo superiore di f(x) in I. Allora per ogni y in (m;M) esiste x in I tale che f(x) =y.
Dove sta questo c?
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Il mio professore dimostra il teorema della media integrale dicendo che se f(x) è continua allora esistono massimo e minimo tra i quali la funzione è compresa.
$ m * (b-a) <= int_(a)^(b) f(x) dx <= M * (b-a) $
E fin qua ci sono. Però poi perchè nella seguente $ 1/(b-a) * int_(a)^(b) f(x) dx $ è il valore medio??
$ m <= 1/(b-a) int_(a)^(b) f(x) dx <= M $
E poi continua: quindi per il teorema dei valori intermedi esiste a <= c <= b tale che
$ int_(a)^(b) f(x) dx = f(c)*(b-a) $
però il teorema dei valori intermedi dice che: Sia $ I sube R $ un intervallo qualsiasi non necessariamente chiuso. Sia f:I->R continua e siano m l'estremo inferiore di f(x) in I e M l'estremo superiore di f(x) in I. Allora per ogni y in (m;M) esiste x in I tale che f(x) =y.
Dove sta questo c?
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Una funzione continua su un intervallo compatto assume tutti i valori compresi tra il valore minimo e il valore massimo: se quindi sei riuscito a scrivere che
\[\min_{x\in[a,b]}f(x)=m\le \dfrac{\int^b_a f(x)\,dx}{b-a}\le M=\max_{x\in[a,b]}f(x)\]
allora, per quanto detto, $f$ assume in qualche punto il valore $\frac{\int_a^b f(x)\ dx}{b-a}$, cioè deve esistere un $c\in [a,b]$ tale che
\[\dfrac{\int^b_a f(x)\,dx}{b-a}=f(c)\]
cioè
\[\int^b_a f(x)\,dx=f(c)(b-a)\]
Cosa non è chiaro?
\[\min_{x\in[a,b]}f(x)=m\le \dfrac{\int^b_a f(x)\,dx}{b-a}\le M=\max_{x\in[a,b]}f(x)\]
allora, per quanto detto, $f$ assume in qualche punto il valore $\frac{\int_a^b f(x)\ dx}{b-a}$, cioè deve esistere un $c\in [a,b]$ tale che
\[\dfrac{\int^b_a f(x)\,dx}{b-a}=f(c)\]
cioè
\[\int^b_a f(x)\,dx=f(c)(b-a)\]
Cosa non è chiaro?
Grazie per l'aiuto e per quello futuro!
Non capisco dove sta scritto nel teorema dei vsoori imtermedi questa conseguenza:
...l'integrale assume in qualche punto il valore ∫baf(x) dxb−a, cioè deve esistere un c∈[a,b] tale che..
Non capisco dove sta scritto nel teorema dei vsoori imtermedi questa conseguenza:
...l'integrale assume in qualche punto il valore ∫baf(x) dxb−a, cioè deve esistere un c∈[a,b] tale che..
Penso sia una conseguenza del fatto che la funzione sia continua, infatti prendi due punti $P(a,y_1)$ e $P'(b,y_2)$, poi prendi il punto $P''(c,y_M)$ e traccia una retta passante per esso e parallela all'asse orizzontale (quindi $y=y_M$), $y_M$ indica il valore della media integrale. Se unisci i due punti $P$ e $P'$ con una curva qualsiasi senza interruzioni, e quindi continua, noterai che la retta passante per $P''$ incontrerà la curva sempre in un punto che ha ordinata $y_M$, essendo tale punto quindi in comune sia alla retta che alla curva hai infine che puoi ottenerlo anche dalla curva, cioè significa proprio che per un $c$ ottieni $y_M$ e quindi la tua media integrale, ovvero $f(c)=\frac{\int_a^b f(x) dx}{b-a}$.
Riguardo alla prima domanda, potrei sbagliarmi, ma anche qui empiricamente puoi ragionare in questo modo: sai che l'integrale è la somma di infiniti rettangoli tutti con base uguale, dividendo l'integrale per $b-a$, che teoricamente indica la quantità di questi rettangoli, ottieni proprio la media dell'area dei rettangoli, che portati con base infinitesima indica proprio l'ordinata media della curva. In pratica applichi proprio la media aritmetica, ricorda che la media di $n$ valori è la somma degli stessi fratto $n$.
Non sono sicuro se questi ragionamenti siano validi per questo meglio aspettare qualche esperto per qualcosa di completo.
Riguardo alla prima domanda, potrei sbagliarmi, ma anche qui empiricamente puoi ragionare in questo modo: sai che l'integrale è la somma di infiniti rettangoli tutti con base uguale, dividendo l'integrale per $b-a$, che teoricamente indica la quantità di questi rettangoli, ottieni proprio la media dell'area dei rettangoli, che portati con base infinitesima indica proprio l'ordinata media della curva. In pratica applichi proprio la media aritmetica, ricorda che la media di $n$ valori è la somma degli stessi fratto $n$.
Non sono sicuro se questi ragionamenti siano validi per questo meglio aspettare qualche esperto per qualcosa di completo.
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