Dimostrazione del teorema del Dini.

[notaro1]

Buonasera,
leggevo la dimostrazione del teorema di Dini, mi interessa in particolare la parte sulla derivabilità della funzione implicita, ma da un certo punto in poi (asterisco rosso) ho perso il filo delle maggiorazioni. Perché o(x) ??
La dim è la seguente:



Grazie!!

[j18eos]

Io leggo [tex]$\sigma$[/tex]! Prova a fare i calcoli.

[krek1]

Perchè ti ha saltato due passaggi per confonderti

$|y(x)-y_0|-|(f_x(P_0))/(f_y(P_0))(x-x_0)|<=(1)/(2)(|x-x_0|+|y-y_0|)$

$|y(x)-y_0|-|(f_x(P_0))/(f_y(P_0))(x-x_0)|<=(1)/(2)(|x-x_0|+|y(x)-y_0|)$

$|y(x)-y_0|-|(f_x(P_0))/(f_y(P_0))(x-x_0)|<=(1)/(2)(|x-x_0|)+(1)/(2)(|y(x)-y_0|)$

$(1)/(2)|y(x)-y_0|<=(1)/(2)(|x-x_0|)+|(f_x(P_0))/(f_y(P_0))(x-x_0)|$

[notaro1]

Scusa ma non ho ancora capito. I passaggi che hai scritto si riferiscono a prima dell'asterisco? E poi mi sapresti dire perché è o-piccolo di x e non di (x - x_0)?
Magari sono cose ovvie, ma non riesco a coglierle..
Grazie!

ps: Scusatemi anche per la scrittura ma sono nuovo e non so come si faccia!

[krek1]

"j18eos":Io leggo [tex]$\sigma$[/tex]! Prova a fare i calcoli.

anche io leggo [tex]$\sigma$[/tex]

Guarda qui
http://unina.stidue.net/Complementi%20d ... locale.pdf


$|y(x)-y_0|-|(f_x(P_0))/(f_y(P_0))(x-x_0)|<=$...........

....maggiorazioni....

..................$<=(1)/(2)(|x-x_0|)+(1)/(2)(|y(x)-y_0|)$

quindi hai

$|y(x)-y_0|-|(f_x(P_0))/(f_y(P_0))(x-x_0)|<=(1)/(2)(|x-x_0|)+(1)/(2)(|y(x)-y_0|)$

e ricavi

$(1)/(2)|y(x)-y_0|<=(1)/(2)(|x-x_0|)+|(f_x(P_0))/(f_y(P_0))(x-x_0)|$

[notaro1]

Sembrerà stupido ma ho capito solo ora che il simbolo di cui parlavate non è o-piccolo ma sigma minuscolo.
Mi rendo conto di essere stato superficiale e peraltro poco intuitivo nel non capire i vostri commenti (mi domandavo cosa significasse "io leggo XXX" visto che per me entrambi i simboli erano o-piccolo) ma il problema è che io non ho idea di cosa sia quel sigma, non l'abbiamo mai incontrato finora.
Qualcuno mi potrebbe illuminare?