Dimostrazione del prodotto fra i limiti di due successioni

[aligi08]

Salve a tutti!
volevo chiedere se possibile avere la dimostrazione per cui si ha che il prodotto dei limiti per n che tende ad infinito di due successioni i cui limiti ad infinito sono un numero finito (rispettivamente A e B), è uguale al prodotto di A e B.
Grazie mille

[leev]

Diciamo $a_n \rightarrow a$ e $b_n \rightarrow b$,
un'idea é di esprimere $a_nb_n-ab=a_n(b_n-b) +b(a_n-a)$...
$a_n$ é limitato, $b_n -b \rightarrow 0$ e $a_n-a \rightarrow 0$, dunque il tutto tende a zero;
vuoi che lo scriva più rigorosamente?

[aligi08]

il passaggio mi è chiaro, ma ti sarei grato se me lo scrivessi, citandoti, "più rigorosamente"
Grazie

[leev]

Ok
Sia $\epsilon>0$, scegliamo $N$ tale che per tutti gli $n>N$ abbiamo $|a_n-a| Quindi abbiamo anche $|a_n|<=|a|+|a_n-a|<|a|+1$.
Allora: $|a_nb_n-ab|<=|a_n||b_n-b|+|b||a_n-a|<(|a|+1)\epsilon/(2|a|+2)+|b|\epsilon/(2|b|)<=\epsilon$, per tutti gli $n>N$.

[aligi08]

perdona la mia ignoranza ma non mi sono chiari i primi due passaggi..

[leev]

"aligi08":perdona la mia ignoranza ma non mi sono chiari i primi due passaggi..

i primi due dopo l'allora?
o la prima riga?

[aligi08]

prima e seconda riga

[leev]

"leev":
Sia $\epsilon>0$, scegliamo $N$ tale che per tutti gli $n>N$ abbiamo $|a_n-a|

Qua ho semplicemente usato che $a_n$ tende ad $a$, e $b_n$ a $b$ (in sostanza, a destra nelle disuguaglianze ho posto degli $\epsilon_1,\epsilon_2$, tali da facilitarmi il lavoro in seguito)

"leev":
Quindi abbiamo anche $|a_n|<=|a|+|a_n-a|<|a|+1$.

$|a_n|=|a+a_n-a|<=|a|+|a_n-a|$ per la disuguaglianza triangolare, e $|a_n-a|<1$ è dovuto alla prima riga...

è più chiaro?

[aligi08]

ok è chiaro!
grazie mille!

[aligi08]

senza aprire un nuovo topic potrei chiederti la dimostrazione anche del quoziente?

[leev]

yes ,
da dimostrare: $a_n/b_n -> a/b$, dove $b!=0$ e $b_n!=0$ per 'quasi tutti' gli $n$.
Verifichiamo che $1/b_n->1/b$ (la regola del prodotto poi ci dà il resto).

Poniamo $\delta:=1/2|b|>0$, e scegliamo $N_{\delta}$ tale che $|b_n-b|<\delta$ per tutti gli $n>N_{\delta}$;
allora, per questi $n$, abbiamo: $|b_n|>|b|-\delta=|b|/2>0$ (disuguaglianza triangolare inversa!)
A questo punto, sia $\epsilon>0$, scegliamo $N>=N_{\delta}$ tale che $|b_n-b|<1/2\epsilon|b|^2$ per tutti gli $n>N$.

Dunque, $|1/b_n-1/b|=|b_n-b|/(|b_n||b|)<\epsilon$, per $n>N$.

[aligi08]

grazie mille..così mi è chiara la strategia da seguire