Dimostrazione del limite notevole...
Salve stò tentando di capire come mai il limite notevole: $lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]^2$ sia uguale a $1/2$
Ad esempio il limite $lim_(f(x)->0)(1-cosroot(3)(5x))/root(3)(25x^2)=1/2$;
in questo caso devo moltiplicare il numeratore per $5x$ in modo da ottenere la stessa quantità del denominatore quà però mi sono bloccato e non so come devo procedere?
Qualcuno mi può aiutare?
Ad esempio il limite $lim_(f(x)->0)(1-cosroot(3)(5x))/root(3)(25x^2)=1/2$;
in questo caso devo moltiplicare il numeratore per $5x$ in modo da ottenere la stessa quantità del denominatore quà però mi sono bloccato e non so come devo procedere?
Qualcuno mi può aiutare?
Risposte
Moltiplica numeratore e denominatore per $1+cosf(x)$.
Otterrai $lim_(f(x)->0)((sinf(x))/[f(x)])^2*1/(1+cosf(x))$, e sfruttando il $lim_(f(x)->0)sinf(x)/f(x)$, ottieni la tesi cercata.
Spero di esserti stato di aiuto
.
Otterrai $lim_(f(x)->0)((sinf(x))/[f(x)])^2*1/(1+cosf(x))$, e sfruttando il $lim_(f(x)->0)sinf(x)/f(x)$, ottieni la tesi cercata.
Spero di esserti stato di aiuto
.
"domy90":
Salve stò tentando di capire come mai il limite notevole: $lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]^2$ sia uguale a $1/2$
Siamo sel caso di una forma indeterminata $0/0$, dunque si usa De L'Hopital...
$lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]^2$= $lim_(f(x)->0)(f'(x)*(-(-sin(f(x)))))/[f'(x)*2f(x)]$= $lim_(f(x)->0)(sin(f(x)))/(2f(x))$= $1/2*lim_(f(x)->0)(sin(f(x)))/f(x)$= $1/2*1$= $1/2$
"Gi8":
[quote="domy90"]Salve stò tentando di capire come mai il limite notevole: $lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]^2$ sia uguale a $1/2$
Siamo sel caso di una forma indeterminata $0/0$, dunque si usa De L'Hopital...[/quote]
Non dobbiamo però dimenticare che tra le ipotesi del teorema di De L'Hospital c'è il fatto che la derivata della funzione a denominatore non deve mai annullarsi... Mentre in questo caso non sappiamo nulla sulla derivata del denominatore...
Non ho capito bene....
allora andando per passi.... ho il limite $lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]^2=1/2$
dim.
moltiplico e divido per $1+cosf(x)$ e ottengo: $(1-cosf(x))/(f(x)^2)*(1+cosf(x))/(1+cosf(x))=( sen^2f(x))/(1+cosf(x))=lim_(f(x)->0)(senf(x)*senf(x))/f(x)$
che può essere visto come:
$1/2lim_(f(x)->0)(senf(x))/(f(x))*(senf(x))/(f(x))=1/2*1*1=1/2$
giusto????
allora andando per passi.... ho il limite $lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]^2=1/2$
dim.
moltiplico e divido per $1+cosf(x)$ e ottengo: $(1-cosf(x))/(f(x)^2)*(1+cosf(x))/(1+cosf(x))=( sen^2f(x))/(1+cosf(x))=lim_(f(x)->0)(senf(x)*senf(x))/f(x)$
che può essere visto come:
$1/2lim_(f(x)->0)(senf(x))/(f(x))*(senf(x))/(f(x))=1/2*1*1=1/2$
giusto????
Allora noi abbiamo:
$lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]^2$ che diventa:
$lim_(f(x)->0)((1-cosf(x))*(1+cosf(x)))/([f(x)]^2*(1+cosf(x)))$
$lim_(f(x)->0)(1-cos^2f(x))/([f(x)]^2*(1+cosf(x)))$
$lim_(f(x)->0)(sin^2f(x))/([f(x)]^2*(1+cosf(x)))$
$lim_(f(x)->0)(sinf(x))/[f(x)]*lim_(f(x)->0)(sinf(x))/[f(x)]*lim_(f(x)->0)1/(1+cosf(x))$ Adesso applichi i limiti notevoli che conosci e ottieni il risultato voluto, cioè $lim_(f(x)->0)(sinf(x))/[f(x)]=1$. Quindi continua te. Facci sapere.
Ciao.
$lim_(f(x)->0)(1-cosf(x))/[f(x)]^2$ che diventa:
$lim_(f(x)->0)((1-cosf(x))*(1+cosf(x)))/([f(x)]^2*(1+cosf(x)))$
$lim_(f(x)->0)(1-cos^2f(x))/([f(x)]^2*(1+cosf(x)))$
$lim_(f(x)->0)(sin^2f(x))/([f(x)]^2*(1+cosf(x)))$
$lim_(f(x)->0)(sinf(x))/[f(x)]*lim_(f(x)->0)(sinf(x))/[f(x)]*lim_(f(x)->0)1/(1+cosf(x))$ Adesso applichi i limiti notevoli che conosci e ottieni il risultato voluto, cioè $lim_(f(x)->0)(sinf(x))/[f(x)]=1$. Quindi continua te. Facci sapere.
Ciao.
ok grazie e scusate se rispondo ora......
Non riesco a risolvere il limite notevole:
$lim_(f(x)->0)1/(1+cosf(x))$ io avevo pensato di fare il ragionamento che $1/(1+cosf(x))$ fosse il limite notevole: $lim_(f(x)->0)f(x)/(1-cosf(x))=2$ ma poi non so come procedere....
$lim_(f(x)->0)1/(1+cosf(x))$ io avevo pensato di fare il ragionamento che $1/(1+cosf(x))$ fosse il limite notevole: $lim_(f(x)->0)f(x)/(1-cosf(x))=2$ ma poi non so come procedere....
"domy90":
Non riesco a risolvere il limite notevole:
$lim_(f(x)->0)1/(1+cosf(x))$
Non so se sono nel giusto, ma se $f(x)->0$, allora quel limite è $1/2$.
Sei nel giusto, non bisogna applicare nessun limite notevole, fa $1/2$.
Ciao.
Ciao.
Scusate
ma come mai??? non riesco a capire....
ma come mai??? non riesco a capire....
Aaaaaah si ho capito perchè!!!!! 
quello il $cos0°=1$ $rarr$ $1/(1+1)=1/2$
Grazie mille mi siete stati di grande aiuto!!!!!.......
quello il $cos0°=1$ $rarr$ $1/(1+1)=1/2$
Grazie mille mi siete stati di grande aiuto!!!!!.......
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