Dimostrazione del limite (di una successione)

[Magma1]

Buona sera,

non riesco a capire bene un passaggio nella dimostrazione di un limite, per esempio nella seguente dimostrazione (i passaggi nelle citazioni sono presi dal libro):

$ lim_(n -> +oo) |n/(2n+5)|ne1 $


$ AA epsilon>0 EE delta_k>0 : AA x>delta_k $ si ha[nota]Esiste un comando per inserire un blocco di testo in una formula?[/nota] $ | n/(2n+5)-1|

$ | n/(2n+5)-1|=|(-n-5)/(2n+5)|=(n+5)/(2n+5)
Ricavando $n$ si ottiene:

$n5<2epsilon n+5 epsilon rArr (1-2epsilon)n<5(epsilon-1)$

Se $epsilon$ è abbastanza grande la disequazione è verificata da ogni $n in mathbb(N) $ [...].
Però se scegliamo $epsilon$ abbastanza piccolo otteniamo un disequazione che non è mai verificata. Ricordando che la definizione di limite richiede la verifica di disuguaglianze utilizzando un parametro $epsilon>0$ arbitrario, possiamo concludere che il limite dato non vale $1$.

Quindi da questa conclusione traggo la conseguenza che se esiste un $epsilon>0$ per cui non è valida la disuguaglianza, allora il valore del limite dato non è corretto.

Però in un altro esercizio precedente:

$ lim_(n -> +oo) |n/(2n+5)|=1/2$

$ AA epsilon>0 EE delta_k>0 : AA x>delta_k $ si ha $ | n/(2n+5)-1/2| < epsilon $

[...]

$ | -5/(2n+5)|=5/(4n+10)
$4n+10>5/epsilon$

$n>5/(4epsilon)-5/2$ quindi

Quindi $EE delta_k>0:(delta_k, +oo ) sube S=(5/(4epsilon)-5/2, +oo)$ infatti basta prendere $delta_k>=5/(4epsilon)-5/2$

però il fatto, che $n$ non possa essere minore di quel valore fissato per $delta_k$,

potrebbe implicare che il limite sia diverso da $1/2$?? Temo di avere le idee un po' confuse...

EDIT: O forse dovrei trovare un $epsilon>0$ per cui non possa esistere una $n>delta_k$?

[axpgn]

Riguardo al modulo nella nota, dato che $n$ è naturale allora $(n+5)/(2n+5)$ sarà sempre positivo perciò, dato che $(-n-5)/(2n+5)=-(n+5)/(2n+5)$, l'argomento del modulo sarà sempre negativo e quindi $-(-(n+5)/(2n+5))=(n+5)/(2n+5)$