Dimostrazione del limite?

[Fab996]

$Lim x-> 1 ((2x)/(x^(2)+1))=1$
Chi mi aiuta a dimostrare questo limite secondo la definizione $∀ɛ>0 ∃δɛ>0 : ∀x∈(Xo- δɛ;Xo +δɛ)-{Xo}$ si ha $l-ɛ<((2x)/(x^(2)+1))

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Risposte

Werner1

28 ott 2015, 20:19

allora devi fare

$-\epsilon<\frac{2x}{x^2+1}-1<\epsilon$ e cercare di metterlo nella forma $-\delta(\epsilon)
$-\epsilon<\frac{2x-x^2-1}{x^2+1}<\epsilon$, ora semplifichi il numeratore e trovi $-\epsilon<\frac{-(x-1)^2}{x^2+1}<\epsilon$, puoi togliere il meno e invertire l'ordine delle disequazioni (alla fine rimane uguale), $-\epsilon<\frac{(x-1)^2}{x^2+1}<\epsilon$ adesso risolviamo le disequazioni $\frac{(x-1)^2}{x^2+1}<\epsilon$ e $\frac{(x-1)^2}{x^2+1} > -\epsilon$, il denominatore non lo considero tanto è sempre positivo. La seconda è sempre vera essendo la quantità al quadrato e $-\epsilon<0$ per definizione.

Nella prima trovi invece $\frac{(x-1)^2}{x^2+1}<\epsilon$, che diventa $\frac{(x-1)^2-\epsilon(x^2+1)}{x^2+1}<0$. Facendo lo studio dei segni al numeratore e denominatore trovi che il denominatore è sempre positivo, al numeratore invece hai

$(x-1)^2-\epsilon(x^2+1)>0$, svolgendo si ottiene $(1-\epsilon)x^2 -2x-\epsilon-1>0$, si puo riscrivere come $(x-\frac{1-\sqrt{1-(1-\epsilon)^2}}{1-\epsilon})(x-\frac{1+\sqrt{1-(1-\epsilon)^2}}{1-\epsilon})>0$

Qui però le radici possono essere immaginarie per alcuni valori di $\epsilon$

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Fab996

28 ott 2015, 20:43

"Werner":allora devi fare

$-\epsilon<\frac{2x}{x^2+1}-1<\epsilon$ e cercare di metterlo nella forma $-\delta(\epsilon)
$-\epsilon<\frac{2x-x^2-1}{x^2+1}<\epsilon$, ora semplifichi il numeratore e trovi $-\epsilon<\frac{-(x-1)^2}{x^2+1}<\epsilon$, puoi togliere il meno e invertire l'ordine delle disequazioni (alla fine rimane uguale), $-\epsilon<\frac{(x-1)^2}{x^2+1}<\epsilon$ adesso risolviamo le disequazioni $(x-1)^2<\epsilon$ e $(x-1)^2 > -\epsilon$, il denominatore non lo considero tanto è sempre positivo. La seconda è sempre vera essendo la quantità al quadrato e $-\epsilon<0$ per definizione.

Dalla prima, posto $y=x-1$, trovo $y^2<\epsilon$, che diventa $-\sqrt{\epsilon}

A me viene in un modo un pò diverso:
$1-ɛ<((2x)/(x^(2)+1))<1+ɛ$ Poi risolvo a sistema le due disequzioni $((2x)/(x^(2)+1))<1+ɛ$ $((2x)/(x^(2)+1))>1-ɛ$ Di cui la prima disequazione mi viene sempre soddisfatta, mentre la seconda ha soluzioni $x<((-1+√(1-(-1+ɛ)^(2)))/(-1+ɛ))$ e $x>(-1-√(1-(-1+ɛ)^(2))/(-1+ɛ)))$ La soluzione del sistema mi viene $S=(-∞;(-1+√(1-(-1+ɛ)^(2)))/(-1+ɛ)) U ((-1-√(1-(-1+ɛ)^(2)))/(-1+ɛ);+∞)$
Quindi basta prendere $δɛ<=((-1-√(1-(-1+ɛ)^(2)))/(-1+ɛ))$

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Werner1

28 ott 2015, 21:00

Si, scusa stavo correggendo, ho buttato via un denominatore che non potevo, comunque sono arrivato allo stesso punto cioè valutavo $\frac{(x-1)^2-\epsilon(1+x^2)}{1+x^2}<0$, il problema è che come viene a te, il numeratore ha come radici $\frac{1 \+- \sqrt{1-1(1-\epsilon)^2}}{1-\epsilon}$, che non sono reali per ogni $\epsilon$

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Fab996

28 ott 2015, 21:08

"Werner":Si, scusa stavo correggendo, ho buttato via un denominatore che non potevo, comunque sono arrivato allo stesso punto cioè valutavo $\frac{(x-1)^2-\epsilon(1+x^2)}{1+x^2}<0$, il problema è che come viene a te, il numeratore ha come radici $\frac{1 \+- \sqrt{1-1(1-\epsilon)^2}}{1-\epsilon}$, che non sono reali per ogni $\epsilon$

Sono reali perchè $\epsilon$ è piccolo a piacere...

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Werner1

28 ott 2015, 21:13

In generale la definizione vale per ogni $\epsilon$ maggiore di 0, quindi può essere anche grande a piacere

Comunque se prendi $\epsilon<1$ allora hai che il numeratore è positivo per $xx_{+}$ allora dallo studio dei segni tu cercavi le soluzioni negative, allora trovi $x_{-}
Se sottrai a tutti 1 ottieni $x_{-} -1

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[Werner1]

allora devi fare

$-\epsilon<\frac{2x}{x^2+1}-1<\epsilon$ e cercare di metterlo nella forma $-\delta(\epsilon)
$-\epsilon<\frac{2x-x^2-1}{x^2+1}<\epsilon$, ora semplifichi il numeratore e trovi $-\epsilon<\frac{-(x-1)^2}{x^2+1}<\epsilon$, puoi togliere il meno e invertire l'ordine delle disequazioni (alla fine rimane uguale), $-\epsilon<\frac{(x-1)^2}{x^2+1}<\epsilon$ adesso risolviamo le disequazioni $\frac{(x-1)^2}{x^2+1}<\epsilon$ e $\frac{(x-1)^2}{x^2+1} > -\epsilon$, il denominatore non lo considero tanto è sempre positivo. La seconda è sempre vera essendo la quantità al quadrato e $-\epsilon<0$ per definizione.

Nella prima trovi invece $\frac{(x-1)^2}{x^2+1}<\epsilon$, che diventa $\frac{(x-1)^2-\epsilon(x^2+1)}{x^2+1}<0$. Facendo lo studio dei segni al numeratore e denominatore trovi che il denominatore è sempre positivo, al numeratore invece hai

$(x-1)^2-\epsilon(x^2+1)>0$, svolgendo si ottiene $(1-\epsilon)x^2 -2x-\epsilon-1>0$, si puo riscrivere come $(x-\frac{1-\sqrt{1-(1-\epsilon)^2}}{1-\epsilon})(x-\frac{1+\sqrt{1-(1-\epsilon)^2}}{1-\epsilon})>0$

Qui però le radici possono essere immaginarie per alcuni valori di $\epsilon$

[Fab996]

"Werner":allora devi fare

$-\epsilon<\frac{2x}{x^2+1}-1<\epsilon$ e cercare di metterlo nella forma $-\delta(\epsilon)
$-\epsilon<\frac{2x-x^2-1}{x^2+1}<\epsilon$, ora semplifichi il numeratore e trovi $-\epsilon<\frac{-(x-1)^2}{x^2+1}<\epsilon$, puoi togliere il meno e invertire l'ordine delle disequazioni (alla fine rimane uguale), $-\epsilon<\frac{(x-1)^2}{x^2+1}<\epsilon$ adesso risolviamo le disequazioni $(x-1)^2<\epsilon$ e $(x-1)^2 > -\epsilon$, il denominatore non lo considero tanto è sempre positivo. La seconda è sempre vera essendo la quantità al quadrato e $-\epsilon<0$ per definizione.

Dalla prima, posto $y=x-1$, trovo $y^2<\epsilon$, che diventa $-\sqrt{\epsilon}

A me viene in un modo un pò diverso:
$1-ɛ<((2x)/(x^(2)+1))<1+ɛ$ Poi risolvo a sistema le due disequzioni $((2x)/(x^(2)+1))<1+ɛ$ $((2x)/(x^(2)+1))>1-ɛ$ Di cui la prima disequazione mi viene sempre soddisfatta, mentre la seconda ha soluzioni $x<((-1+√(1-(-1+ɛ)^(2)))/(-1+ɛ))$ e $x>(-1-√(1-(-1+ɛ)^(2))/(-1+ɛ)))$ La soluzione del sistema mi viene $S=(-∞;(-1+√(1-(-1+ɛ)^(2)))/(-1+ɛ)) U ((-1-√(1-(-1+ɛ)^(2)))/(-1+ɛ);+∞)$
Quindi basta prendere $δɛ<=((-1-√(1-(-1+ɛ)^(2)))/(-1+ɛ))$

[Werner1]

Si, scusa stavo correggendo, ho buttato via un denominatore che non potevo, comunque sono arrivato allo stesso punto cioè valutavo $\frac{(x-1)^2-\epsilon(1+x^2)}{1+x^2}<0$, il problema è che come viene a te, il numeratore ha come radici $\frac{1 \+- \sqrt{1-1(1-\epsilon)^2}}{1-\epsilon}$, che non sono reali per ogni $\epsilon$

[Fab996]

"Werner":Si, scusa stavo correggendo, ho buttato via un denominatore che non potevo, comunque sono arrivato allo stesso punto cioè valutavo $\frac{(x-1)^2-\epsilon(1+x^2)}{1+x^2}<0$, il problema è che come viene a te, il numeratore ha come radici $\frac{1 \+- \sqrt{1-1(1-\epsilon)^2}}{1-\epsilon}$, che non sono reali per ogni $\epsilon$

Sono reali perchè $\epsilon$ è piccolo a piacere...

[Werner1]

In generale la definizione vale per ogni $\epsilon$ maggiore di 0, quindi può essere anche grande a piacere

Comunque se prendi $\epsilon<1$ allora hai che il numeratore è positivo per $xx_{+}$ allora dallo studio dei segni tu cercavi le soluzioni negative, allora trovi $x_{-}
Se sottrai a tutti 1 ottieni $x_{-} -1

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