Dimostrazione degli assiomi
Salve ragazzi, questo è il mio primo post qui nel forum, e sinceramente penso che posterò abbastanza spesso per fugare i miei dubbi 
Sto studiando gli assiomi, che per definizione sono (Almeno così dice la pagina di Wikipedia) enunciati che, pur non essendo stati dimostrati, sono considerati veri.. Ora conoscendo gli assiomi dei numeri reali (6 assiomi relativi alle operazioni, 4 relativi all'ordinamento ed 1 assioma di completezza) mi risulta difficile capire il concetto di non dimostrabile 
Ad esempio l'assioma di completezza ha una sua dimostrazione. Oppure per quanto riguarda l'assioma della proprietà commutativa, il fatto che cambiando di posto i numeri, ed avendo lo stesso risultato, non è gia una dimostrazione? Cosa mi sta sfuggendo? Uso il termine dimostrazione in maniera errata in ambito matematico?
Inoltre ho un'altra curiosità. In analisi matematica, quando si parla di assiomi si parla di assiomi logici, ed il termine postulato è un sinonimo di assiomi non logici, giusto?
Sto studiando gli assiomi, che per definizione sono (Almeno così dice la pagina di Wikipedia) enunciati che, pur non essendo stati dimostrati, sono considerati veri.. Ora conoscendo gli assiomi dei numeri reali (6 assiomi relativi alle operazioni, 4 relativi all'ordinamento ed 1 assioma di completezza) mi risulta difficile capire il concetto di non dimostrabile Ad esempio l'assioma di completezza ha una sua dimostrazione. Oppure per quanto riguarda l'assioma della proprietà commutativa, il fatto che cambiando di posto i numeri, ed avendo lo stesso risultato, non è gia una dimostrazione? Cosa mi sta sfuggendo? Uso il termine dimostrazione in maniera errata in ambito matematico?Inoltre ho un'altra curiosità. In analisi matematica, quando si parla di assiomi si parla di assiomi logici, ed il termine postulato è un sinonimo di assiomi non logici, giusto?
Risposte
Parto dalla fine.
Postulato o assioma significano la stessa cosa, solitamente il termine postulato lo si usa in un contesto di geometria Euclidea.
Un assioma è diciamo ciò che forma le fondamenta di una teoria matematica, si ha bisogno di assiomi per partire da qualcosa che abbia un senso(o quantomeno logicamente).
Tu poni un certo numero di assiomi(cosa che accetti per vere) e da quelle si sviluppa la teoria(teoremi, lemmi, proposizioni ecc) di fatto cosa ti dice che $0$ sia un numero? O che lo sia $3772937$? Oppure che in un contesto di geometria Euclidea, per due punti passi una e una sola retta? Sono cose che vengono assunte per vere.
L'assioma di completezza non viene 'dimostrato', si dimostra L'equivalenza con le definizioni di estremo superiore e estremo inferiore, in poche sono due definizioni equivalenti!
Pensa se non avessero introdotto la completezza, potevamo dire addio ai numeri reali.
Che poi pensaci, in soldoni equivale al fatto che tra due punti di una retta ne esiste sempre un terzo compreso, solo che numericamente si parla di 'elemento separatore'.
Quando parli di assiomi dei numeri reali, tu non dimostri la proprietà commutativa, la verifichi.
Noi postuliamo che esista una proprietà che si chiama commutativa, che viene soddisfatta quando si cambia l'ordine di due operandi il risultato è lo stesso. Quando essa viene verificata allora soddisfa la proprietà commutativa
Postulato o assioma significano la stessa cosa, solitamente il termine postulato lo si usa in un contesto di geometria Euclidea.
Un assioma è diciamo ciò che forma le fondamenta di una teoria matematica, si ha bisogno di assiomi per partire da qualcosa che abbia un senso(o quantomeno logicamente).
Tu poni un certo numero di assiomi(cosa che accetti per vere) e da quelle si sviluppa la teoria(teoremi, lemmi, proposizioni ecc) di fatto cosa ti dice che $0$ sia un numero? O che lo sia $3772937$? Oppure che in un contesto di geometria Euclidea, per due punti passi una e una sola retta? Sono cose che vengono assunte per vere.
L'assioma di completezza non viene 'dimostrato', si dimostra L'equivalenza con le definizioni di estremo superiore e estremo inferiore, in poche sono due definizioni equivalenti!
Pensa se non avessero introdotto la completezza, potevamo dire addio ai numeri reali.
Che poi pensaci, in soldoni equivale al fatto che tra due punti di una retta ne esiste sempre un terzo compreso, solo che numericamente si parla di 'elemento separatore'.
Quando parli di assiomi dei numeri reali, tu non dimostri la proprietà commutativa, la verifichi.
Noi postuliamo che esista una proprietà che si chiama commutativa, che viene soddisfatta quando si cambia l'ordine di due operandi il risultato è lo stesso. Quando essa viene verificata allora soddisfa la proprietà commutativa
"anto_zoolander":
Quando parli di assiomi dei numeri reali, tu non dimostri la proprietà commutativa, la verifichi.
... "Nekra49":
Oppure per quanto riguarda l'assioma della proprietà commutativa, il fatto che cambiando di posto i numeri, ed avendo lo stesso risultato, non è gia una dimostrazione? Cosa mi sta sfuggendo? Uso il termine dimostrazione in maniera errata in ambito matematico?
L'enunciato è la frase di per sé che sia vera o falsa, la dimostrazione è lo "strumento" che io uso per provare che l'enunciato è vero.
Gli assiomi o postulati non richiedono una dimostrazione in quanto io li pongo alla base di una teoria e perché parlano di cose intuitive: ad esempio
"Per due punti distinti passa una e una sola retta."
non posso dimostrarla in quanto affermo una proprietà di un oggetto, la retta, che però è un ente primitivo e al quale non si è data alcuna definizione. E' per questo motivo che Euclide ti richiede di prenderla per vera! Lo stesso per esempio per
"$0 in NN$"...
Per quanto riguarda i due termini, come ti è già stato detto oggi sono considerati sinonimi. Io ti cito che Euclide chiamava assiomi quelle che lui chiamava "nozioni comuni"(esempio: "il tutto è maggiore di una sua parte"), mentre chiamava postulati le proposizioni intuitive di attinenza prettamente geometrica.
Però, quello che tu tentavi di esporre è interessante!
Ad esempio, partendo dagli "Assiomi di Peano", io posso dimostrare in $NN$ la proprietà commutativa. Continuando posso fare lo stesso una volta costruiti in $ZZ$ e $QQ$. Dato che $RR$ si costruisce da $QQ$ (infatti, si può dire che il primo ha in più la proprietà di completezza, se sei curiosa puoi vedere su Wikipedia i vari modi per costruire $RR$), tecnicamente io potrei dimostrarla.
Di fatto però per l'introduzione all'insieme dei numeri reali si preferisce l'approccio assiomatico, ovvero vengono date per "scontate" certe proprietà. Questo ho pensato io.
Aggiungo un'altra considerazione.
Negli esercizi, a volte si usa dire "dimostrare che nella struttura $X$ valgono gli assiomi $Y$" il che, nella vulgata, diviene "dimostrare gli assiomi $Y$ in $X$".
Dall'ultima frase (sbagliata!) sembra che gli assiomi vadano dimostrati; ma invece no, vanno solo verificati usando le definizioni (più o meno esplicite) delle operazioni o le proprietà della struttura $X$.
Tanto per fare un esempio, nell'insieme dei numeri interi pari $\mathbb{P}$ dotato dell'operazione di somma usuale $+$ è possibile dimostrare che sono soddisfatti gli assiomi di gruppo; oppure, nell'insieme $\mathbb{R}[x]$ dei polinomi a coefficienti reali, dotato delle usuali operazioni di somma e prodotto di polinomi, è possibile dimostrare che sono soddisfatti gli assiomi di anello con unità (ed anche qualcosa in più, và...).
Negli esercizi, a volte si usa dire "dimostrare che nella struttura $X$ valgono gli assiomi $Y$" il che, nella vulgata, diviene "dimostrare gli assiomi $Y$ in $X$".
Dall'ultima frase (sbagliata!) sembra che gli assiomi vadano dimostrati; ma invece no, vanno solo verificati usando le definizioni (più o meno esplicite) delle operazioni o le proprietà della struttura $X$.
Tanto per fare un esempio, nell'insieme dei numeri interi pari $\mathbb{P}$ dotato dell'operazione di somma usuale $+$ è possibile dimostrare che sono soddisfatti gli assiomi di gruppo; oppure, nell'insieme $\mathbb{R}[x]$ dei polinomi a coefficienti reali, dotato delle usuali operazioni di somma e prodotto di polinomi, è possibile dimostrare che sono soddisfatti gli assiomi di anello con unità (ed anche qualcosa in più, và...
).
@Indrjo
[ot]
... [/quote]
Dai non fa così schifo
ahaahah ho abbattuto tutta la formalità possibile 
[/ot]
[ot]
"Indrjo Dedej":
[quote="anto_zoolander"]
Quando parli di assiomi dei numeri reali, tu non dimostri la proprietà commutativa, la verifichi.
... [/quote]Dai non fa così schifo
ahaahah ho abbattuto tutta la formalità possibile [/ot]
@gugo82, dov'è l'errore?
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