Dimostrazione curva rettificabile
Salve a tutti, un esercizio mi chiedeva di trovare la lunghezza d'arco di una spirale logaritmica $r = e^{\omega\theta}$ con $\omega in RR \/ \{0\},$ $ \theta in [0,t]$.
La lunghezza d'arco mi risulta $sqrt(\omega^2 + 1)/\omega (e^{\omega t} - 1)$, che dovrebbe essere esatto. Successivamente mi viene chiesto di dimostrare che per un intervallo $]-\infty , t]$ la curva è rettificabile.
Io ho posto la seguente relazione suddividendo la lunghezza totale in $n$ intervalli,
$\sum_{i = 1}^nsqrt(\omega^2 + 1)/\omega (e^{\omega t_{i}} - e^{\omega t_{i-1}})$ $<= M = sqrt(\omega^2 + 1)/{\omega}e^{\omega t}$, con $t_0 = \lim_{\theta \to -\infty} \theta$.
E' corretto?
Ringrazio in anticipo!
Edit: avevo dimenticato $\omega$ nell'esponenziale
La lunghezza d'arco mi risulta $sqrt(\omega^2 + 1)/\omega (e^{\omega t} - 1)$, che dovrebbe essere esatto. Successivamente mi viene chiesto di dimostrare che per un intervallo $]-\infty , t]$ la curva è rettificabile.
Io ho posto la seguente relazione suddividendo la lunghezza totale in $n$ intervalli,
$\sum_{i = 1}^nsqrt(\omega^2 + 1)/\omega (e^{\omega t_{i}} - e^{\omega t_{i-1}})$ $<= M = sqrt(\omega^2 + 1)/{\omega}e^{\omega t}$, con $t_0 = \lim_{\theta \to -\infty} \theta$.
E' corretto?
Ringrazio in anticipo!
Edit: avevo dimenticato $\omega$ nell'esponenziale
Risposte
potrei dire una fesseria, ma non è più semplice far vedere che è di classe C1? comunque mi sembra improntato in maniera sbagliata quando cerchi di dimostrare la rettificabilità: dovevi scandire gli istanti temporali (ad esempio a distanze di pgreco/2), poi mi sembra che tu faccia la sommatoria della differenza tra due lunghezze, invece dovresti fare la sommatoria delle norme della differenza dei vettori posizione..
"enr87":
potrei dire una fesseria, ma non è più semplice far vedere che è di classe C1? comunque mi sembra improntato in maniera sbagliata quando cerchi di dimostrare la rettificabilità: dovevi scandire gli istanti temporali (ad esempio a distanze di pgreco/2), poi mi sembra che tu faccia la sommatoria della differenza tra due lunghezze, invece dovresti fare la sommatoria delle norme della differenza dei vettori posizione..
Effettivamente hai ragione. Quindi mi basta mostrare che [tex]e^{\omega\theta}[/tex] è di classe [tex]C^1[/tex] su tutto l'intervallo [tex]]-\infty , t][/tex]?
Inoltre per impostare correttamente la mia dimostrazione avrei dovuto quindi mostrare che
[tex]\displaystyle\sum_{i = 1}^{n} || \overrightarrow{R}_i - \overrightarrow{R}_{i-1} || \leqslant M[/tex] con [tex]\overrightarrow{R}_i = (e^{\omega\theta_i}\cos{\theta_i} , e^{\omega\theta_i}\sin{\theta_i})[/tex]
giusto?
per la prima domanda, sì.
edit:
per la seconda domanda tieni presente che una curva è rettificabile se, per definizione, $ \Sup_D \ L(\gamma , D) < \infty $, dove $ L(\gamma , D) \:= \sum_i || \gamma (t_{i+1}) - \gamma(t_i) || $ e $ D := {a=t_0, t_1,..., t_{n-1} = b} $. quest'ultima via è più comoda per far vedere che una curva non è rettificabile, perchè puoi prendere una suddivisione particolare D_1 e far vedere che la serie diverge (a me hanno fatto l'esempio della curva cartesiana $ \gamma = (t, t \ \sin (1/t)) \ se \ t \ne 0, \ (0, 0) \ se \ t = 0 $ nell'intervallo $ [0, 2/pi] $.
il problema della tua risoluzione sta nel fatto che per essere sicuro della rettificabilità dovresti prendere una suddivisione "infinitamente fine", cioè in maniera tale che ogni istante temporale disti di un infinitesimo da quello successivo (e precedente).. quindi a mio parere è un metodo da scartare
edit:
per la seconda domanda tieni presente che una curva è rettificabile se, per definizione, $ \Sup_D \ L(\gamma , D) < \infty $, dove $ L(\gamma , D) \:= \sum_i || \gamma (t_{i+1}) - \gamma(t_i) || $ e $ D := {a=t_0, t_1,..., t_{n-1} = b} $. quest'ultima via è più comoda per far vedere che una curva non è rettificabile, perchè puoi prendere una suddivisione particolare D_1 e far vedere che la serie diverge (a me hanno fatto l'esempio della curva cartesiana $ \gamma = (t, t \ \sin (1/t)) \ se \ t \ne 0, \ (0, 0) \ se \ t = 0 $ nell'intervallo $ [0, 2/pi] $.
il problema della tua risoluzione sta nel fatto che per essere sicuro della rettificabilità dovresti prendere una suddivisione "infinitamente fine", cioè in maniera tale che ogni istante temporale disti di un infinitesimo da quello successivo (e precedente).. quindi a mio parere è un metodo da scartare
"enr87":
per la prima domanda, sì.
edit:
per la seconda domanda tieni presente che una curva è rettificabile se, per definizione, $ \Sup_D \ L(\gamma , D) < \infty $, dove $ L(\gamma , D) \:= \sum_i || \gamma (t_{i+1}) - \gamma(t_i) || $ e $ D := {a=t_0, t_1,..., t_{n-1} = b} $. quest'ultima via è più comoda per far vedere che una curva non è rettificabile, perchè puoi prendere una suddivisione particolare D_1 e far vedere che la serie diverge (a me hanno fatto l'esempio della curva cartesiana $ \gamma = (t, t \ \sin (1/t)) \ se \ t \ne 0, \ (0, 0) \ se \ t = 0 $ nell'intervallo $ [0, 2/pi] $.
il problema della tua risoluzione sta nel fatto che per essere sicuro della rettificabilità dovresti prendere una suddivisione "infinitamente fine", cioè in maniera tale che ogni istante temporale disti di un infinitesimo da quello successivo (e precedente).. quindi a mio parere è un metodo da scartare
Ti ringrazio, sei stato molto chiaro.
dimenticavo.. se non fosse di classe C1 non potresti tirare alcuna conclusione, perchè è solo una condizione sufficiente per la rettificabilità
Se si volesse usare la definizione di curva rettificabile, visto che non si lede la generalità supponendo [tex]$t=0$[/tex], si dovrebbe provare che:
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists A,\delta >0:\ \forall a>A,\ \forall D\in \mathfrak{D}([-a,0]) \text{ con ampiezza $d<\delta$},\ |\mathcal{L}(\gamma) - \mathcal{L}(\gamma ;D)| <\varepsilon$[/tex],
in cui:
- [tex]$\mathfrak{D} ([-a,0]) :=\{ D\subseteq [-a,0]:\ \text{$D$ è una decomposizione di $[-a,0]$}\}$[/tex],
- [tex]$\mathcal{L} (\gamma) := \text{ supposta lunghezza della curva}$[/tex] (in particolare [tex]$\int_{-\infty}^0 |\gamma^\prime (t)|\ \text{d} t$[/tex]),
- [tex]$\mathcal{L} (\gamma ,D) := \sum_{t_i \in D} |\gamma (t_{i+1}) -\gamma (t_i)|$[/tex] (lunghezza della spezzata inscritta in [tex]$\gamma$[/tex] subordinata alla partizione [tex]$D$[/tex]).
Se uno ci si mettesse, in una ventina di minuti risolverebbe il problema.
[tex]$\forall \varepsilon >0,\ \exists A,\delta >0:\ \forall a>A,\ \forall D\in \mathfrak{D}([-a,0]) \text{ con ampiezza $d<\delta$},\ |\mathcal{L}(\gamma) - \mathcal{L}(\gamma ;D)| <\varepsilon$[/tex],
in cui:
- [tex]$\mathfrak{D} ([-a,0]) :=\{ D\subseteq [-a,0]:\ \text{$D$ è una decomposizione di $[-a,0]$}\}$[/tex],
- [tex]$\mathcal{L} (\gamma) := \text{ supposta lunghezza della curva}$[/tex] (in particolare [tex]$\int_{-\infty}^0 |\gamma^\prime (t)|\ \text{d} t$[/tex]),
- [tex]$\mathcal{L} (\gamma ,D) := \sum_{t_i \in D} |\gamma (t_{i+1}) -\gamma (t_i)|$[/tex] (lunghezza della spezzata inscritta in [tex]$\gamma$[/tex] subordinata alla partizione [tex]$D$[/tex]).
Se uno ci si mettesse, in una ventina di minuti risolverebbe il problema.
scusa, ma la difficoltà che riscontro io è proprio trovare $D$ (o $d$ se preferisci) tale che la differenza in valore assoluto $ |L(\gamma) - L(\gamma,D)| < \epsilon $, motivo per cui gli avevo consigliato l'altro procedimento.
Basta imitare la dimostrazione del fatto che se una curva regolare su un compatto [tex]$[a,b]$[/tex] è [tex]$C^1$[/tex], allora [tex]$\mathcal{L} (\gamma) =\int_a^b |\gamma^\prime (t)|\ \text{d} t$[/tex] (ed il trucco è sfruttare l'uniforme continuità); solo che in questo caso c'è da tagliare via un pezzo, il che si può fare perchè [tex]$\int_{-\infty}^0 |\gamma^\prime (t)|\ \text{d} t$[/tex] è convergente.
complicato per me..
so di chiedere troppo, ma potresti dare un'occhiata al topic sugli estremi vincolati? è da giorni che ci sto su e il mio insegnante non mi può rispondere perchè è all'estero
so di chiedere troppo, ma potresti dare un'occhiata al topic sugli estremi vincolati? è da giorni che ci sto su e il mio insegnante non mi può rispondere perchè è all'estero
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