Dimostrazione criterio della radice per le serie

[pocholoco92]

salve

la mia professoressa ci ha fatto la dimostrazione del criterio della radice per le serie

quindi se $ lim_(n -> oo) root(n)(a_n) = l < 1 $

arriviamo a dimostrare che $ a_n
però poi ha detto di fare la dimostrazione usando il limite massimo

ma considerando che il limite massimo non è altro che il

sup $E$ con $ E$= { insieme dei limiti delle sottosuccessioni ${ a_(n_k )} $di$ { a_n } } $

come si può fare?
non ho idea di come procedere

[Rigel1]

In generale, se \( \limsup_n x_n = l \in\mathbb{R}\), allora per ogni \( h>l \) esiste \( N\in\mathbb{N} \) tale che \( x_n < h \) per ogni \( n\geq N\).

[nunziox]

Se la serie converge:

$lim_(n->oo)a_n=0$

la classe limite ha solo un valore e quindi

$maxlim_(n->oo)root(n)(a_n)=minlim_(n->oo)root(n)(a_n)=lim_(n->oo)root(n)(a_n)$

$maxlim_(n->oo)root(n)(a_n)=l$

$a_n
che per confronto con la serie geometrica converge.
Ma in ogni caso siccome:

$minlim_(n->oo)root(n)(a_n)<=lim_(n->oo)root(n)(a_n)<=maxlim_(n->oo)root(n)(a_n)$

dovresti poter star certo che se converge con il maxlim converge con il lim!

Rigel la mia si può accettare?

[ViciousGoblin]

"nunziox":Se la serie converge, la classe limite ha solo un valore e quindi

$maxlim_(n->oo)root(n)(a_n)=minlim_(n->oo)root(n)(a_n)=lim_(n->oo)root(n)(a_n)$

$maxlim_(n->oo)root(n)(a_n)=l$

$a_n
che per confronto con la serie geometrica converge.
Rigel la mia si può accettare?

Ehhem, se la serie converge esiste il limite delle somme parziali - questo non ti dice niente riguardo al limite di $root(n)(a_n)$. Se vuoi il criterio generale con il massimo limite devi seguire il discorso di rigel, che si basa su una proprietà del
massimo limite (che spesso è parte della sua definizione). In sostanza, mentre se $l$ è il limite di $a_n$, allora fissato $\epsilon>0$
hai $l-\epsilon

Cita

Segnala

[nunziox]

ok grazie

[pocholoco92]

scusate ma io non riesco a cogliere i vostri consigli
non mi è molto chiaro

[ViciousGoblin]

Diamo per buono che, se $l$ è il massimo limite di una successione $a_n$ (e se $l$ è finito) allora
(*) $\forall\epsilon>0$ $\exists \bar n$ tale che $a_n\leq l+\epsilon$ $forall n\ge\bar n$.

Allora per dimostrare che
$\max\lim_{n\to\infty}\root n a_n<1$ implica $\sum_{s}a_n$ converge

si ripete la stessa dimostrazione fatta nel caso del limite, dato che, se si guarda bene la dimostrazione, quello che serve è solo la parte (*)