Dimostrazione Criterio del rapporto

[laska1]

Buon pomeriggio a voi tutti/e,

Vi scrivo perché non mi risulta chiaro un passo della dimostrazione del Criterio del Rapporto per la convergenza di una serie a termini positivi.

In particolare, riporto il testo della dimostrazione:

sia $a_n>=0 AA n$, e supponiamo che $EE lim_(n->oo) (a_(n+1))/a_n=l$

Si avrà che,

se $l<1$ la serie converge
se $l>1$ la serie diverge

Per $l>1$ la dimostrazione mi è chiara, i dubbi sorgono nel caso $l<1$:

dim:
Prima di tutto si fissa $epsilon$ t.c. $l+epsilon<1$, scriviamo la definizione di limite $EE$ $nu$ t.c. se $n>=nu$ risulta $l-epsilon< (a_(n+1))/a_n Perché poi la conclusione è ovvia, capito tale passaggio...

[Rigel1]

Il passaggio corretto è:
\[\ldots\leq (l+\epsilon)^{n+1-\nu} a_{\nu} = (l+\epsilon)^{n+1}(l+\epsilon)^{-\nu} a_{\nu} = M (l+\epsilon)^{n+1},\]
con ovvio significato della costante $M$.

[laska1]

Ma come sappiamo maggiorare così? Cioè perchè $n+1-nu$ all'esponente e $nu$ come pedice...Come ci si arriva?
Perdona la caparbietà...

[Rigel1]

Ci si arriva per induzione effettuando $n+1-\nu$ maggiorazioni consecutive:
\[ a_{n+1} \leq K a_n \leq K^2 a_{n-1} \leq K^3 a_{n-2} \leq ...\]
con $K=l+\epsilon$. Come vedi la somma dell'esponente di $K$ con l'indice di $a$ rimane costante e vale $n+1$.

[laska1]

Ho capito! Perfetto! Grazie infinite!