Dimostrazione criterio del rapporto
salve, ho un dubbio su una dimostrazione del criterio del rapporto di una serie a termini positivi
posto $lim a_n<1$ per ipotesi la serie converge, allora si applica la definizione di limite e si ha che $|(a_(n+1))/a_n-l|<\epsilon$ e quindi $a_n
caso da$n$a$n+1$: assunta vera per n dalla (1) si deduce $a_(n+1)
posto $lim a_n<1$ per ipotesi la serie converge, allora si applica la definizione di limite e si ha che $|(a_(n+1))/a_n-l|<\epsilon$ e quindi $a_n
caso da$n$a$n+1$: assunta vera per n dalla (1) si deduce $a_(n+1)
Risposte
Sia $\sum a_n$ una serie a termini positivi; se esiste un numero $\lambda$ positivo e minore di uno, cioè $0<\lambda<1,$ per cui risulti definitivamente
\begin{align*}
\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \lambda<1,
\end{align*}
allora la serie è convergente. Se risulta definitivamente $a_{n+1}\ge a_n$ allora la serie diverge. In particolare:
\begin{align*}
\mbox{se}& \lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1, \mbox{la serie converge;}\qquad
\mbox{se} \lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1, \mbox{la serie diverge;}
\end{align*}
se risulta
$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$
il criterio è inefficace.
Chiaramente, se vale $a_{n+1}/a_n\le \lambda,$ possiamo scrivere anche: $a_{n+1}\le a_n \lambda;$
supponendo che valga per ogni $n$, cosa senz'altro lecita, avremo, assegnando successivamente i valori a $n,$
\begin{align*}
a_{1}\le a_0 \lambda,\quad a_{2}\le a_1 \lambda,\quad a_{3}\le a_2 \lambda,\quad a_{4}\le a_3 \lambda ,....
\end{align*}
essendo $a_{1}\le a_0 \lambda,$ avremo
\begin{align*}
a_{2}\le a_0 \lambda^2,\quad a_{3}\le a_0 \lambda ^3,...,\quad a_{n}\le a_0 \lambda^n,
\end{align*}
quindi abbiamo ottenuto che il termine generale $a_n$ della serie è maggiorato dal termine generale di una serie geometrica :
\begin{align*}
a_{n}\le{a_0 }{\lambda}^n= {a_0 }{\lambda}^0+{a_0 }{\lambda}^1+{a_0 }{\lambda}^2+...+{a_0 }{\lambda}^n={a_0 }\left( 1+ {\lambda} + {\lambda}^2+...+{\lambda}^n\right)
\end{align*}
ed essendo per ipotesi $0<\lambda<1,$ la serie geometrica ha ragione minore di uno, e dunque risulta convergente; allora per il criterio del confronto di Gauss la serie $a_n$ converge. Risulta inoltre evidente l'inefficacia del criterio per $\lambda=1.$
\begin{align*}
\frac{a_{n+1}}{a_n}\le \lambda<1,
\end{align*}
allora la serie è convergente. Se risulta definitivamente $a_{n+1}\ge a_n$ allora la serie diverge. In particolare:
\begin{align*}
\mbox{se}& \lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1, \mbox{la serie converge;}\qquad
\mbox{se} \lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}>1, \mbox{la serie diverge;}
\end{align*}
se risulta
$\lim_{n\to+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$
il criterio è inefficace.
Chiaramente, se vale $a_{n+1}/a_n\le \lambda,$ possiamo scrivere anche: $a_{n+1}\le a_n \lambda;$
supponendo che valga per ogni $n$, cosa senz'altro lecita, avremo, assegnando successivamente i valori a $n,$
\begin{align*}
a_{1}\le a_0 \lambda,\quad a_{2}\le a_1 \lambda,\quad a_{3}\le a_2 \lambda,\quad a_{4}\le a_3 \lambda ,....
\end{align*}
essendo $a_{1}\le a_0 \lambda,$ avremo
\begin{align*}
a_{2}\le a_0 \lambda^2,\quad a_{3}\le a_0 \lambda ^3,...,\quad a_{n}\le a_0 \lambda^n,
\end{align*}
quindi abbiamo ottenuto che il termine generale $a_n$ della serie è maggiorato dal termine generale di una serie geometrica :
\begin{align*}
a_{n}\le{a_0 }{\lambda}^n= {a_0 }{\lambda}^0+{a_0 }{\lambda}^1+{a_0 }{\lambda}^2+...+{a_0 }{\lambda}^n={a_0 }\left( 1+ {\lambda} + {\lambda}^2+...+{\lambda}^n\right)
\end{align*}
ed essendo per ipotesi $0<\lambda<1,$ la serie geometrica ha ragione minore di uno, e dunque risulta convergente; allora per il criterio del confronto di Gauss la serie $a_n$ converge. Risulta inoltre evidente l'inefficacia del criterio per $\lambda=1.$
grazie tante, non capivo bene il passaggio della maggiorazione!
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