Dimostrazione Convessità/Concavità derivata seconda
Ciao a tutti,
vi scrivo perché non mi è chiara la dimostrazione di un famoso teorema, il quale mostra che se la derivata seconda di una funzione è positiva [negativa] in un dato intervallo, allora la funzione in tale intervallo è convessa [concava].
L'enunciato è molto semplice e lo si utilizza spesso negli studi di funzione.
Tuttavia non mi è chiara la dimostrazione, la quale usa il teorema di Lagrange.
Non so se è il mio libro ad essere di difficile digestione per quanto riguarda le dimostrazioni, o se sono io un pò tocco
.
Forse entrambe le cose.
Grazie a tutti in anticipo!
vi scrivo perché non mi è chiara la dimostrazione di un famoso teorema, il quale mostra che se la derivata seconda di una funzione è positiva [negativa] in un dato intervallo, allora la funzione in tale intervallo è convessa [concava].
L'enunciato è molto semplice e lo si utilizza spesso negli studi di funzione.
Tuttavia non mi è chiara la dimostrazione, la quale usa il teorema di Lagrange.
Non so se è il mio libro ad essere di difficile digestione per quanto riguarda le dimostrazioni, o se sono io un pò tocco
.Forse entrambe le cose.
Grazie a tutti in anticipo!
Risposte
Ciao!
Cosa non ti è chiaro?
Cosa non ti è chiaro?
Prendiamo per esempio una funzione concava in un intervallo, con derivata seconda quindi minore di zero.
La funzione in tale intervallo sarà minore della retta tangente in ogni punto, per cui:
$f(x) - f(x0) - f(x0)*(x-x0) < 0 $
Fino a qui tutto chiaro.
Successivamente la dimostrazione prosegue in tal modo
$ D(x) = [f'(c) - f'(x0)]*(x-x0)$
Già questo passaggio non mi è chiaro, figurati quelli successivi!
La funzione in tale intervallo sarà minore della retta tangente in ogni punto, per cui:
$f(x) - f(x0) - f(x0)*(x-x0) < 0 $
Fino a qui tutto chiaro.
Successivamente la dimostrazione prosegue in tal modo
$ D(x) = [f'(c) - f'(x0)]*(x-x0)$
Già questo passaggio non mi è chiaro, figurati quelli successivi!
Ho una domanda; come ti è stata definita la convessità?
(Non è una domanda a trabocchetto, ci sono più modi)
Comunque se la derivata secondo è positiva in un intervallo, per Lagrange, la derivata prima sarà monotona crescente in quello stesso intervallo. Giusto?
Ora se la derivata prima è monotona crescente significa che il grafico di $f$ in sostanza si impenna, da questo la convessità.
(Non è una domanda a trabocchetto, ci sono più modi)
Comunque se la derivata secondo è positiva in un intervallo, per Lagrange, la derivata prima sarà monotona crescente in quello stesso intervallo. Giusto?
Ora se la derivata prima è monotona crescente significa che il grafico di $f$ in sostanza si impenna, da questo la convessità.
"anto_zoolander":
Ho una domanda; come ti è stata definita la convessità?
(Non è una domanda a trabocchetto, ci sono più modi)
Comunque se la derivata secondo è positiva in un intervallo, per Lagrange, la derivata prima sarà monotona crescente in quello stesso intervallo. Giusto?
Ora se la derivata prima è monotona crescente significa che il grafico di $f$ in sostanza si impenna, da questo la convessità.
Ciao! Innanzitutto ti ringrazio per la risposta.
Non mi è chiaro qualcosa però.
Evidentemente non ho capito fino in fondo il teorema di Lagrange, da te citato.
Grazie a Lagrange so che, soddisfatte le ipotesi, esiste un punto $c$ tale che $f'(c)$ è uguale al coefficiente angolare della retta secante i valori che assume $f$ agli estremi dell'intervallo.
Non capisco come mai, detto questo, tu riesci ad evincere che la derivata prima è monotona crescente se la derivata seconda è positiva.
Mi scuso se sono un pò duro di comprendonio.
"anto_zoolander":
Ho una domanda; come ti è stata definita la convessità?
(Non è una domanda a trabocchetto, ci sono più modi)
Comunque se la derivata secondo è positiva in un intervallo, per Lagrange, la derivata prima sarà monotona crescente in quello stesso intervallo. Giusto?
Ora se la derivata prima è monotona crescente significa che il grafico di $f$ in sostanza si impenna, da questo la convessità.
Ad ogni modo, per quanto studiato, una funzione risulta essere convessa in un intervallo se in ogni punto di tale intervallo la retta tangente risulta essere "al di sopra" del grafico della funzione.
una delle conseguenze del teorema di Lagrange è la seguente:
la dimostrazione è abbastanza facile. Se $x
essendo $f'(c)geq0$ deve essere $(f(y)-f(x))/(y-x)geq0$ ma $x y-x>0$ quindi deve essere $f(y)-f(x)geq0$ ossia $f(y)geqf(x)$
queste cose le puoi trovare sotto il nome di "conseguenze del teorema di Lagrange" o "corollari al teorema di Lagrange".
quindi se $f''geq0$ significa che $f'$ deve essere monotona.
Per dimostrare quel teorema puoi sempre appellarti a qualcosa di geometrico e in questo caso abbiamo i seguenti ingredienti
- la derivata seconda è positiva(quindi la derivata prima è monotona)
- la retta tangente al grafico di una funzione
volendo provare che la retta tangente sta sotto il grafico in ogni punto cominciamo prendendo un punto $x_0 in (a,b)$ e ci aspettiamo di avere $f(x)geqf'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ per tutti gli $x in (a,b)$ giusto?
allora prendiamo la funzione che mi calcola la distanza con segno tra la retta e la funzione ossia
se $f$ è convessa ci aspettiamo che questa funzione sia $geq0$ ovunque
infatti $g'(x)=f'(x)-f'(x_0)$ e $g''(x)=f''(x)$
essendo $f''(x)geq0$ segue $g''(x)geq0$ in tutto $(a,b)$ da cui si ricava che $g'$ è monotona crescente per il teorema di sopra.
da questo si ottiene che
in poche parole $g$ ha un punto di minimo assoluto in $x_0$ quindi
che è la tesi cercata.
"Lagrange":
sia $f:(a,b)->RR$ una funzione derivabile in tutto l'intervallo
se $f'(x)geq0$ per ogni $x in (a,b)$ allora $f(x)$ è crescente
la dimostrazione è abbastanza facile. Se $x
$(f(y)-f(x))/(y-x)=f'(c)$
essendo $f'(c)geq0$ deve essere $(f(y)-f(x))/(y-x)geq0$ ma $x
queste cose le puoi trovare sotto il nome di "conseguenze del teorema di Lagrange" o "corollari al teorema di Lagrange".
quindi se $f''geq0$ significa che $f'$ deve essere monotona.
Per dimostrare quel teorema puoi sempre appellarti a qualcosa di geometrico e in questo caso abbiamo i seguenti ingredienti
- la derivata seconda è positiva(quindi la derivata prima è monotona)
- la retta tangente al grafico di una funzione
volendo provare che la retta tangente sta sotto il grafico in ogni punto cominciamo prendendo un punto $x_0 in (a,b)$ e ci aspettiamo di avere $f(x)geqf'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ per tutti gli $x in (a,b)$ giusto?
allora prendiamo la funzione che mi calcola la distanza con segno tra la retta e la funzione ossia
$g(x)=f(x)-f'(x_0)(x-x_0)-f(x_0)$
se $f$ è convessa ci aspettiamo che questa funzione sia $geq0$ ovunque
infatti $g'(x)=f'(x)-f'(x_0)$ e $g''(x)=f''(x)$
essendo $f''(x)geq0$ segue $g''(x)geq0$ in tutto $(a,b)$ da cui si ricava che $g'$ è monotona crescente per il teorema di sopra.
da questo si ottiene che
$x g'(x)leqg'(x_0)=0$
$x>x_0 => g'(x)geqg'(x_0)=0$
$x>x_0 => g'(x)geqg'(x_0)=0$
in poche parole $g$ ha un punto di minimo assoluto in $x_0$ quindi
$f(x)-f'(x_0)(x-x_0)-f(x_0)=g(x)geqg(x_0)=0$
che è la tesi cercata.
"anto_zoolander":
una delle conseguenze del teorema di Lagrange è la seguente:
[quote="Lagrange"]sia $f:(a,b)->RR$ una funzione derivabile in tutto l'intervallo
se $f'(x)geq0$ per ogni $x in (a,b)$ allora $f(x)$ è crescente
la dimostrazione è abbastanza facile. Se $x
$(f(y)-f(x))/(y-x)=f'(c)$
essendo $f'(c)geq0$ deve essere $(f(y)-f(x))/(y-x)geq0$ ma $x
queste cose le puoi trovare sotto il nome di "conseguenze del teorema di Lagrange" o "corollari al teorema di Lagrange".
quindi se $f''geq0$ significa che $f'$ deve essere monotona.
Per dimostrare quel teorema puoi sempre appellarti a qualcosa di geometrico e in questo caso abbiamo i seguenti ingredienti
- la derivata seconda è positiva(quindi la derivata prima è monotona)
- la retta tangente al grafico di una funzione
volendo provare che la retta tangente sta sotto il grafico in ogni punto cominciamo prendendo un punto $x_0 in (a,b)$ e ci aspettiamo di avere $f(x)geqf'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ per tutti gli $x in (a,b)$ giusto?
allora prendiamo la funzione che mi calcola la distanza con segno tra la retta e la funzione ossia
$g(x)=f(x)-f'(x_0)(x-x_0)-f(x_0)$
se $f$ è convessa ci aspettiamo che questa funzione sia $geq0$ ovunque
infatti $g'(x)=f'(x)-f'(x_0)$ e $g''(x)=f''(x)$
essendo $f''(x)geq0$ segue $g''(x)geq0$ in tutto $(a,b)$ da cui si ricava che $g'$ è monotona crescente per il teorema di sopra.
da questo si ottiene che
$x g'(x)leqg'(x_0)=0$
$x>x_0 => g'(x)geqg'(x_0)=0$
$x>x_0 => g'(x)geqg'(x_0)=0$
in poche parole $g$ ha un punto di minimo assoluto in $x_0$ quindi
$f(x)-f'(x_0)(x-x_0)-f(x_0)=g(x)geqg(x_0)=0$
che è la tesi cercata.[/quote]
Troppo gentile!!! Tutto chiaro adesso, grazie
@CLaudio Nine: la definizione non è quella.
Senza conoscere le definizioni non vai da nessuna parte.
Qui trovi degli appunti sulla convessità.
Senza conoscere le definizioni non vai da nessuna parte.
Qui trovi degli appunti sulla convessità.
"gugo82":
@CLaudio Nine: la definizione non è quella.
Senza conoscere le definizioni non vai da nessuna parte.
Qui trovi degli appunti sulla convessità.
Grazie mille gugo82!
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