Dimostrazione convergenza uniforme
Sia $phi:RR->RR$ continua in 0. Si ponga $f_n(x)=phi(x/n)$. Dimostrare che $f_n$ converge uniformemente alla costante $phi(0)$ in ogni intervallo limitato.
Come posso sfruttare la continuita' di $phi$ in 0 per mostrare che $||phi(n/x)-phi(0)||_(oo)$ tende a 0 al crescere di n?
Come posso sfruttare la continuita' di $phi$ in 0 per mostrare che $||phi(n/x)-phi(0)||_(oo)$ tende a 0 al crescere di n?
Risposte
Sia $J$ un generico intervallo limitato. $f_n(x)$ è continua in $bar J$, $AA n in NN$, perché composizione di funzioni continue nel medesimo intervallo. Quindi $|f_n(x) - phi(0)|$ è una funzione continua definita nel generico intervallo $bar J subseteq RR$ e, per il teorema di Weierstrass, $AA n in NN , EE xi_n in bar J$ tale che $|f_n(xi_n) - phi(0)| = max_(x in bar J) |f_n(x) - phi(0)|$. Epperò $f_n(xi) = phi(xi_n/n) -> phi(0)$ (*) puntualmente per $n -> +oo$, indipercui $||f_n(x) - phi(0)||_(oo) -> 0$.
Che ne dici?
(*): Essendo $J$ limitato e $xi_n in bar J$, è ovvio che $xi_n$ non può divergere e quindi $(xi_n)/n -> 0$; in virtù della continuità di $phi$ hai che $phi(xi_n/n) -> phi(0)$.
Che ne dici?
(*): Essendo $J$ limitato e $xi_n in bar J$, è ovvio che $xi_n$ non può divergere e quindi $(xi_n)/n -> 0$; in virtù della continuità di $phi$ hai che $phi(xi_n/n) -> phi(0)$.
Di $phi$ sappiamo solo che è continua in 0, non che è continua in ogni intervallo limitato...
Scrivi \(\phi(0)=0\), senza perdere generalità. Scegliti un intervallo limitato \(I\) e fissa \(\varepsilon\). In corrispondenza di tale epsilon hai un delta di continuità per \(\phi\) in \(0\). A patto di prendere \(n\) sufficientemente grande, \(\phi(x/n)\) è piccolo su tutto \(I\) .
Traduci in linguaggio formale quanto scritto sopra e salterà fuori la tesi. (PS: Potrebbe essere lo stesso suggerimento dato da Seneca, non lo so).
Traduci in linguaggio formale quanto scritto sopra e salterà fuori la tesi. (PS: Potrebbe essere lo stesso suggerimento dato da Seneca, non lo so).
No, non lo è. Non mi ero accorto che $phi$ dovesse essere continua solo in $0$...
"dissonance":
Scrivi \(\phi(0)=0\), senza perdere generalità. Scegliti un intervallo limitato \(I\) e fissa \(\varepsilon\). In corrispondenza di tale epsilon hai un delta di continuità per \(\phi\) in \(0\). A patto di prendere \(n\) sufficientemente grande, \(\phi(x/n)\) è piccolo su tutto \(I\) .
Traduci in linguaggio formale quanto scritto sopra e salterà fuori la tesi. (PS: Potrebbe essere lo stesso suggerimento dato da Seneca, non lo so).
Fisso un intervallo $[a,b]$, e fisso $epsilon$. In $[a,b]$ il sup degli $f_n$ è $delta_n$ ma perchè da un certo n in poi $delta_n$ è minore di $epsilon$?
Ma no!!! Che c'entra? Fai le cose per bene. Prendi prima l'intervallo \(I=[-1, 1]\) e fissa \(\varepsilon\). Che succede se \(1/n<\delta\)?
Risolvi questo caso e poi generalizza ad un intervallo \(I\) limitato arbitrario. E cerca di concludere da solo: io non voglio darti altri suggerimenti.
Risolvi questo caso e poi generalizza ad un intervallo \(I\) limitato arbitrario. E cerca di concludere da solo: io non voglio darti altri suggerimenti.
Vediamo se era colpa dell'ora tarda 
Prendo l'intervallo limitato $[a,b]$, fisso $epsilon>0$. Esiste $delta>0$ tale che $||phi(x)-phi(0)||_(oo)<=epsilon$ $AAx\inB(0,delta[$. Per n sufficientemente grande si ha che se $x\in[a,b]$ allora $x/n\inB(0,delta[$ da cui $||phi(x)-phi(0)||_(oo)<=epsilon$ $AAx\in[a,b]$.
Come posso costruire un esempio per verificare che se anzichè prendere un intervallo limitato prendo tutto $RR$ la tesi non vale più?
Prendo l'intervallo limitato $[a,b]$, fisso $epsilon>0$. Esiste $delta>0$ tale che $||phi(x)-phi(0)||_(oo)<=epsilon$ $AAx\inB(0,delta[$. Per n sufficientemente grande si ha che se $x\in[a,b]$ allora $x/n\inB(0,delta[$ da cui $||phi(x)-phi(0)||_(oo)<=epsilon$ $AAx\in[a,b]$.
Come posso costruire un esempio per verificare che se anzichè prendere un intervallo limitato prendo tutto $RR$ la tesi non vale più?
"thedarkhero":Va bene.
Vediamo se era colpa dell'ora tarda
Prendo l'intervallo limitato $[a,b]$, fisso $epsilon>0$. Esiste $delta>0$ tale che $||phi(x)-phi(0)||_(oo)<=epsilon$ $AAx\inB(0,delta[$. Per n sufficientemente grande si ha che se $x\in[a,b]$ allora $x/n\inB(0,delta[$ da cui $||phi(x)-phi(0)||_(oo)<=epsilon$ $AAx\in[a,b]$.
Come posso costruire un esempio per verificare che se anzichè prendere un intervallo limitato prendo tutto $RR$ la tesi non vale più?
Uh, ne puoi costruire a bizzeffe. Se solo provassi a fare da solo te ne accorgeresti immediatamente. Anche su questo non hai bisogno di suggerimenti, devi solo metterci un po' le mani e ci arrivi subito.
Ad esempio prendo $phi(x)=1/(1+x)$ e $f_n(x)=1/(1+x/n)=n/(n+x)$.
Il limite puntuale su $RR$ è 1 ma quanto vale $||n/(n+x)-1||_(oo)$? Se non sbaglio è 1 dunque non c'è convergenza uniforme su $RR$. Me lo confermi?
Il limite puntuale su $RR$ è 1 ma quanto vale $||n/(n+x)-1||_(oo)$? Se non sbaglio è 1 dunque non c'è convergenza uniforme su $RR$. Me lo confermi?
Forse sei andato a prendere l'unica funzione che non va bene, perché non è continua su tutta la retta. Riprova. Va bene una \(\phi\) MOLTO più semplice.
Provo con $phi(x)=x$,$f_n(x)=x/n$. Puntualmente converge a 0 su tutto $RR$.
\(\lVert x/n\rVert_{\infty}=\sup_{x\in \mathbb{R}} |x/n|=+\infty\) dunque non converge uniformemente su $RR$?
\(\lVert x/n\rVert_{\infty}=\sup_{x\in \mathbb{R}} |x/n|=+\infty\) dunque non converge uniformemente su $RR$?
Esatto. Visto, è una situazione molto naturale. Osserva anche che \(f_n\) converge uniformemente sugli intervalli limitati: si parla in questo caso di convergenza uniforme sui compatti.
Grazie mille! 
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