Dimostrazione convergenza puntuale serie di potenze

[Rosy2603]

Salve, ho un problema per un esame: Come dimostrare che se la serie di potenze an xn converge per x = x ⇒ an xn converge puntualmente in (− x, x )?

Grazie!

[Noisemaker]

non ho capito bene la domanda, per come hai scritto le natazioni; spero che quello che scrivo ti possa essere d'aiuto.

Teorema
Consideriamo la serie di potenze $\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ e due punti $x_1 \ne 0$ e $x_2 \ne 0.$ Allora

[*:1wk9sehl]se la serie converge in $x_1$ allora essa converge assolutamente per tutti i punti $x$ tali che $|x| < |x_1|;$[/*:m:1wk9sehl]
[*:1wk9sehl]se la serie non converge in $x_2$ allora essa non converge in tutti i punti $x$ tali che $|x| > |x_2|.$[/*:m:1wk9sehl][/list:u:1wk9sehl]

Dimostrazione
Supponiamo che la serie converga in $x_1 \ne0;$ consideriamo un punto $x \ne0,$ tale che$|x| < |x_1|.$ Si ha che
\begin{align}
|a_n x^n|=|a_n x_1^n|\cdot \left|\frac{ x ^n}{x_1^n}\right|=|a_n x_1^n|\cdot \left|\frac{ x }{x_1}\right|^n\le M\left|\frac{ x }{x_1}\right|^n,
\end{align}
dove l’ultima disuguaglianza è giustificata dal fatto che la serie converge, per ipotesi, nel punto $x_1,$ il suo termine generale è quindi infinitesimo e la quantità $|a_nx_1^n
| $ è limitata.
La disuguaglianza che abbiamo ottenuto ci dice che il termine generale della serie $\sum_{n=0}^{+\infty}|a_n x^n|$ è maggiorato da quello della serie $\sum_{n=0}^{+\infty}M |\frac{ x }{x_1} |^n,$ cioè una serie geometrica di ragione minore di uno e quindi convergente. Il criterio del confronto ci permette di concludere che la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n $ è assolutamente convergente per ogni $x$ tale che $|x| < |x_1|.$
Per dimostrare la seconda parte, basta osservare che, per la prima parte del teorema, se la serie
convergesse in $x$ tale che $|x| > |x_2|,$ allora dovrebbe convergere anche nel punto $x_2,$ contrariamente
all’ipotesi.
Osserva infine che .


[*:1wk9sehl]nel teorema precedente la convergenza (o la non convergenza) della serie in $x_1$ non fornisce nessuna informazione sul comportamento della serie nel punto $−x_1.$[/*:m:1wk9sehl]
[*:1wk9sehl] Il teorema precedente si può interpretare intuitivamente dicendo che la convergenza in un punto $x_1 \ne0$ ci fa portare a casa la convergenza in tutti i punti dell’intervallo di centro l’origine di cui $x_1$ è un estremo, mentre la non convergenza in $x_2\ne0$ ci fa perdere la convergenza nelle due semirette $|x| > |x_2|.$[/*:m:1wk9sehl][/list:u:1wk9sehl]