Dimostrazione convergenza assoluta
Buonasera a tutti!
come da titolo vi chiedo aiuto riguardo una dimostrazione del teorema di convergenza assoluta fornitami dal professore di analisi.
Se $\sum_{n=0}^\infty\ an$ converge assolutamente allora converge.
DIM.
Le serie $\sum_{n=0}^\infty\ bn$ e $\sum_{n=0}^\infty\ cn$
con bn = max {an, 0} e cn = max {-an, 0} ------->(è appunto questa la parte che non capisco, come sono definite queste due successioni? cosa significa bn = max {an, 0} e cn = max {-an, 0}?)
convergono perchè 0 <= bn <= |an| e 0 <= cn <= |an|
dato che $\sum_{n=0}^\infty\ an$ = $\sum_{n=0}^\infty\ bn$ - $\sum_{n=0}^\infty\ cn$ quindi la serie converge.
è tutto chiaro, tranne quella definizione delle due successioni bn e cn.
grazie mille a tutti!
come da titolo vi chiedo aiuto riguardo una dimostrazione del teorema di convergenza assoluta fornitami dal professore di analisi.
Se $\sum_{n=0}^\infty\ an$ converge assolutamente allora converge.
DIM.
Le serie $\sum_{n=0}^\infty\ bn$ e $\sum_{n=0}^\infty\ cn$
con bn = max {an, 0} e cn = max {-an, 0} ------->(è appunto questa la parte che non capisco, come sono definite queste due successioni? cosa significa bn = max {an, 0} e cn = max {-an, 0}?)
convergono perchè 0 <= bn <= |an| e 0 <= cn <= |an|
dato che $\sum_{n=0}^\infty\ an$ = $\sum_{n=0}^\infty\ bn$ - $\sum_{n=0}^\infty\ cn$ quindi la serie converge.
è tutto chiaro, tranne quella definizione delle due successioni bn e cn.
grazie mille a tutti!
Risposte
sono funzioni non negative
"kobeilprofeta":
sono funzioni non negative
Ti ringrazio per la risposta, ma quel che voglio sapere è, che cosa significa bn = max { an, 0}? che i valori assunti dalla successione bn sono costituiti dai valori postivi di an tali che siano maggiori di 0?
e cn = max { -an, 0 }? che i valori assunti dalla successione cn sono costituiti dai valori negativi assunti dalla successione an?
ma soprattutto quello che non capisco è cosa significa "max" in questo contesto?
Semplicemente significa che gli elementi della successione $b_n$ sono ognuno il più alto tra due elementi, che sono l'elemento di $a_n$ corrispondente e 0.
max vuol dire proprio massimo dell'insieme, nel senso più elementare del termine
Ad esempio, immagina la successione $a_n = (-2)^n$. Per costruire la successione $b_n$ prendi, di volta in volta, l'emento più grande tra $(-2)^n$ e 0. Quindi l'elemento di indice 1 sarà il più grande tra $(-2)^1$ e 0, quindi 0. Poi l'elemento di indice 2 sarà il più alto tra $(-2)^2$ e 0, quindi 4, e via dicendo.
max vuol dire proprio massimo dell'insieme, nel senso più elementare del termine
Ad esempio, immagina la successione $a_n = (-2)^n$. Per costruire la successione $b_n$ prendi, di volta in volta, l'emento più grande tra $(-2)^n$ e 0. Quindi l'elemento di indice 1 sarà il più grande tra $(-2)^1$ e 0, quindi 0. Poi l'elemento di indice 2 sarà il più alto tra $(-2)^2$ e 0, quindi 4, e via dicendo.
"IlPolloDiGödel":
Semplicemente significa che gli elementi della successione $b_n$ sono ognuno il più alto tra due elementi, che sono l'elemento di $a_n$ corrispondente e 0.
max vuol dire proprio massimo dell'insieme, nel senso più elementare del termine
Ad esempio, immagina la successione $a_n = (-2)^n$. Per costruire la successione $b_n$ prendi, di volta in volta, l'emento più grande tra $(-2)^n$ e 0. Quindi l'elemento di indice 1 sarà il più grande tra $(-2)^1$ e 0, quindi 0. Poi l'elemento di indice 2 sarà il più alto tra $(-2)^2$ e 0, quindi 4, e via dicendo.
Ti ringrazio, forse sto capendo. In pratica definendo le successioni in questo modo, la successione bn sarà costituita da tutti gli elementi positivi della successione an, mentre cn sarà costituita da tutti gli elementi negativi di an e proprio per questo alla fine della dimostrazione il prof ha scritto an = bn - cn. giusto?
vi prego ditemi se è come penso, l'esame orale si avvicina.. 
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Si si è giusto vai e sfonda!
vai e sfonda!
grazie mille speriamo vada bene 
speriamo vada bene
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