Dimostrazione convergenza

[_Matteo_C1]

Salve ragazzi, ho bisogno di una mano:
Siano $a_n$,$b_n$ due successioni tali che:

$\sum_{n=0}^infty a_n^2 < infty$
$\sum_{n=0}^infty b_n^2 < infty$

Dimostrare che:

$\sum_{n=0}^infty a_n*b_n $
è assolutamente convergente.
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Io pensato così:
$a_n^2 < 1/n < 1$ definitivamente. Dunque, anche :
$|a_n| < 1$
Analogamente ciò vale per $b_n$.

#Negli intervalli in cui
$|a_n|>= |b_n|$
sicuramente:
$|a_n * b_n| <= a_n^2$
#Negli intervalli in cui
$|a_n|<= |b_n|$
sicuramente
$|a_n * b_n| <= b_n^2$
Dunque nel complesso la funzione si mantiene al di sotto o di $a_n^2$, o di $b_n^2$. E' giusto? Non so perchè ma non mi convince!

[Rigel1]

Non convince nemmeno me.
Io la farei più breve osservando che $|a_n b_n| le \frac{a_n^2+b_n^2}{2}$.

[_Matteo_C1]

Ti ringrazio ma come si dimostra questa disuguaglianza?

[gugo82]

Usando il notissimo sviluppo del quadrato di binomio.

[DajeForte]

"_Matteo_C":E' giusto? Non so perchè ma non mi convince!

Perchè?
Te hai fatto:

$|a_nb_n|<=max{a_n^2,b_n^2}<=a_n^2+b_n^2$

certo la disuguaglianza citata (di Young) è più fine.