Dimostrazione controimmagine di unione e intersezione
Buonasera a tutti.Ho difficoltà nel dimostrare le seguenti affermazioni:
1)f^-1(D1uD2)=f^-1(D1)u f^-1(D2)
2)f^-1(D1 $nn$ D2)=f^-1(D1) $nn$ f^-1(D2).Vorrei avere delle delucidazioni.Grazie n anticipo
1)f^-1(D1uD2)=f^-1(D1)u f^-1(D2)
2)f^-1(D1 $nn$ D2)=f^-1(D1) $nn$ f^-1(D2).Vorrei avere delle delucidazioni.Grazie n anticipo
Risposte
Ciao Emanu2710, benvenut* sul forum!
Richiediamo un tentativo di soluzione per i problemi proposti, come scritto sul regolamento che puoi leggere qui. Invece, qui puoi trovare una guida per scrivere con le formule integrate al forum.
Venendo all'esercizio: cosa hai provato a fare? Spesso, queste uguaglianze si dimostrano con la doppia inclusione insiemistica. Per esempio, hai provato a prendere $x \in f^{-1}(D_1 \cup D_2)$ arbitrario e a usare le definizioni di preimmagine e unione insiemistica per dedurre che ciò implica $x \in f^{-1}(D_1) \cup f^{-1}(D_2)$? Se sì, dove ti blocchi?
Richiediamo un tentativo di soluzione per i problemi proposti, come scritto sul regolamento che puoi leggere qui. Invece, qui puoi trovare una guida per scrivere con le formule integrate al forum.
Venendo all'esercizio: cosa hai provato a fare? Spesso, queste uguaglianze si dimostrano con la doppia inclusione insiemistica. Per esempio, hai provato a prendere $x \in f^{-1}(D_1 \cup D_2)$ arbitrario e a usare le definizioni di preimmagine e unione insiemistica per dedurre che ciò implica $x \in f^{-1}(D_1) \cup f^{-1}(D_2)$? Se sì, dove ti blocchi?
Ciao e grazie.Si,non riesco a procedere nel dimostrare la tesi proposta,nel senso che non riesco ad impostare i passaggi per arrivare alla definizione iniziale
Ti dimostro un'inclusione, le altre prova a farle da solo (puoi anche scrivere il tuo svolgimento qui, e lo rivediamo insieme).
Sia $x \in f^{-1}(D_1 \cup D_2)$ arbitrario. Per definizione di preimmagine, questo significa $f(x) \in D_1 \cup D_2$; ci sono quindi due casi, $f(x) \in D_1$ oppure $f(x) \in D_2$. Se $f(x) \in D_1$, per definizione di preimmagine è $x \in f^{-1}(D_1)$ e quindi, per definizione di unione, è $x \in f^{-1}(D_1) \cup f^{-1}(D_2)$. Se invece $f(x) \in D_2$, per definizione di preimmagine è $x \in f^{-1}(D_2)$ e quindi, per definizione di unione, è $x \in f^{-1}(D_1) \cup f^{-1}(D_2)$. Pertanto, è sempre $x \in f^{-1}(D_1) \cup f^{-1}(D_2)$ e dunque $f^{-1}(D_1 \cup D_2) \subseteq f^{-1}(D_1) \cup f^{-1}(D_2)$.
Sia $x \in f^{-1}(D_1 \cup D_2)$ arbitrario. Per definizione di preimmagine, questo significa $f(x) \in D_1 \cup D_2$; ci sono quindi due casi, $f(x) \in D_1$ oppure $f(x) \in D_2$. Se $f(x) \in D_1$, per definizione di preimmagine è $x \in f^{-1}(D_1)$ e quindi, per definizione di unione, è $x \in f^{-1}(D_1) \cup f^{-1}(D_2)$. Se invece $f(x) \in D_2$, per definizione di preimmagine è $x \in f^{-1}(D_2)$ e quindi, per definizione di unione, è $x \in f^{-1}(D_1) \cup f^{-1}(D_2)$. Pertanto, è sempre $x \in f^{-1}(D_1) \cup f^{-1}(D_2)$ e dunque $f^{-1}(D_1 \cup D_2) \subseteq f^{-1}(D_1) \cup f^{-1}(D_2)$.
Grazie mille.La seconda dimostrazione l'ho conclusa basandomi su quella precedente,andando a sostituire la condizione di intersezione al posto dell'unione e l'ho conclusa .Quello che mi mancava era la definizione di controimmagine.
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