Dimostrazione - Continuità, monotonia

Seneca1
Proposizione: Sia $f: I -> J$ ($I, J$ intervalli) una funzione biunivoca e continua.
Allora $f$ è strettamente monotòna.

Probabilmente sarà una banalità; io ho provato in diversi modi, ma non mi viene in mente nulla per raccordare una condizione puntuale come quella di continuità con una definizione globale come quella di biunivocità.

Qualche "hint"?

Risposte
dissonance
Qualche "hint"?
Usare la funzione "Cerca" di questo forum! ;-)

Seneca1
"dissonance":
Qualche "hint"?
Usare la funzione "Cerca" di questo forum! ;-)


Grazie Dissonance... Anche se non ho trovato nulla. :lol:

Raptorista1
Ma il tuo dubbio è su come dimostrare tale proposizione?
In questo caso, così su due piedi mi vengono in mente due strade, che non escludo essere entrambe errate.
La prima proporrebbe di fare ponte col concetto di invertibilità di una funzione.
La seconda invece potrebbe essere una soluzione per assurdo: se non fosse monotona, ci sarebbero almeno due punti con una certa proprietà...

Seneca1
Io avevo provato la seconda che hai proposto.

Ma la seguente condizione $forall x_1 , x_2 in I$ , $EE xi in I$ tale che $x_1 < xi < x_2 Rightarrow f(x_1) < f(x_2) < f(xi)$ è la negazione della monotònia?

dissonance
"Seneca":
Grazie Dissonance... Anche se non ho trovato nulla. :lol:
:lol: :lol: :lol:

https://www.matematicamente.it/forum/inv ... 34290.html

Comunque per negare la monotonia non serve quella cosa così complicata. Basta trovare tre punti $x_1

Raptorista1
"dissonance":
[quote="Seneca"]Grazie Dissonance... Anche se non ho trovato nulla. :lol:
:lol: :lol: :lol:

https://www.matematicamente.it/forum/inv ... 34290.html

Comunque per negare la monotonia non serve quella cosa così complicata. Basta trovare tre punti $x_1
Secondo me si poteva semplificare ancora di più: si chiede che sia monotonia stretta, quindi basta postulare $x_1 \ne x_2 : f(x_1) = f(x_2)$

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