Dimostrazione continuità delle funzioni derivabili
Stavo studiando la dimostrazione della continuità delle funzioni derivabili
La proposizione dice che "Se F è derivabile in $x_0$ allora F è continua in $x_0$";
Per dimostrarlo vedo che fa il limite per $x->x_0$ della retta tangente al grafico e trova che è proprio uguale a $f(x_0)$.
Non riesco a capire perchè se la retta tangente al grafico tende a $f(x0)$ allora f è sicuramente derivabile in $x_0$.
Forse perchè se non esistesse la derivata prima in $x_0$ (ovvero il rapporto incrementale non ha un limite finito) allora non si potrebbe avere la retta tangente al grafico? e quindi posso affermare che esiste la retta tangente al grafico se e solo se esiste la derivata prima nel punto $x_0$?
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
La proposizione dice che "Se F è derivabile in $x_0$ allora F è continua in $x_0$";
Per dimostrarlo vedo che fa il limite per $x->x_0$ della retta tangente al grafico e trova che è proprio uguale a $f(x_0)$.
Non riesco a capire perchè se la retta tangente al grafico tende a $f(x0)$ allora f è sicuramente derivabile in $x_0$.
Forse perchè se non esistesse la derivata prima in $x_0$ (ovvero il rapporto incrementale non ha un limite finito) allora non si potrebbe avere la retta tangente al grafico? e quindi posso affermare che esiste la retta tangente al grafico se e solo se esiste la derivata prima nel punto $x_0$?
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
Risposte
ma scusa non hai un libro?
guardala lì e prova a capirla, perchè le cose che hai detto hanno poco senso, la dimostrazione di questo fatto è chiara e precisa.
guardala lì e prova a capirla, perchè le cose che hai detto hanno poco senso, la dimostrazione di questo fatto è chiara e precisa.
Non c'è sul mio libro. Se è chiara è precisa potresti perfavore indicarmela?
Perchè dagli appunti non riesco a capirla.
Perchè dagli appunti non riesco a capirla.
Ho trovato questo documento su internet:
http://www.imati.cnr.it/brezzi/matA/app ... nz-der.pdf
Dite che è giusto? e se si potreste aggiungermi voi qualche commento per spiegarmi meglio la cosa?
http://www.imati.cnr.it/brezzi/matA/app ... nz-der.pdf
Dite che è giusto? e se si potreste aggiungermi voi qualche commento per spiegarmi meglio la cosa?
Cioè da quello che c'è scritto in quel testo io ho capito questo:
Per essere continua una funzione in un punto $x_0$ devo avere:
$\lim_{x \to x0} f(x) = f(x_0)$
Facendo dei semplici passaggi algebrici però possiamo dire che questo è vero quando:
$\lim_{x \to x0} f(x) - f(x_0) = 0$
ma questo se lo dividiamo tutto per $x-x0$ e lo moltiplichiamo anche rimane uguale ed otteniamo quindi che:
$f(x) - f(x_0) = (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) * (x-x_0)$
Sotituendolo nel limite abbiamo quindi che $f(x) = f(x_0)$ ovvero è continua se:
$\lim_{x \to x0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) * (x-x_0) = 0$
Ma per $x->x_0 x-x_0 = 0$ quindi per far si che tutto sia uguale a $0$ dobbiamo avere che
$(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ tenda ad un limite finito. Ci accorgiamo che tutta quella roba li non è altro che il rapporto incrementale, e se tende ad un limite finito vuol dire che esiste la derivata prima, e quindi possiamo dire che una funzione derivabile è continua?
Per essere continua una funzione in un punto $x_0$ devo avere:
$\lim_{x \to x0} f(x) = f(x_0)$
Facendo dei semplici passaggi algebrici però possiamo dire che questo è vero quando:
$\lim_{x \to x0} f(x) - f(x_0) = 0$
ma questo se lo dividiamo tutto per $x-x0$ e lo moltiplichiamo anche rimane uguale ed otteniamo quindi che:
$f(x) - f(x_0) = (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) * (x-x_0)$
Sotituendolo nel limite abbiamo quindi che $f(x) = f(x_0)$ ovvero è continua se:
$\lim_{x \to x0} (f(x)-f(x_0))/(x-x_0) * (x-x_0) = 0$
Ma per $x->x_0 x-x_0 = 0$ quindi per far si che tutto sia uguale a $0$ dobbiamo avere che
$(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ tenda ad un limite finito. Ci accorgiamo che tutta quella roba li non è altro che il rapporto incrementale, e se tende ad un limite finito vuol dire che esiste la derivata prima, e quindi possiamo dire che una funzione derivabile è continua?
ahah ma dove hai trovato quel link? muggiti di disapprovazione???
forte!
comunque certo che è giusto, dovresti arrivarci da solo, sai fare cose molto più complicate di analisi, questa è una bazzeccola, non c'è nullla da aggiungere
forte!
comunque certo che è giusto, dovresti arrivarci da solo, sai fare cose molto più complicate di analisi, questa è una bazzeccola, non c'è nullla da aggiungere
Quella che ti ho riscritto ci sono arrivato da solo. Vorrei solo sapere se l'ho riscritta bene o qualche passaggio algebrico mi sfugge.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo