Dimostrazione concavità funzione Max

[tex11]

Ciao a tutti!
Sono in difficoltà con una dimostrazione che devo effettuare per via matematica e non per via grafica.
Devo dimostrare che la funzione \( Max(x_1,x_2) \) è concava.
Io so che deve essere una cosa cosi vero? \( f((1-\lambda)x_1+\lambda x_2)\geq (1-\lambda)f(x_1)+\lambda f(x_2) \)
Come posso fare?
Grazie mille

[Rigel1]

Dopo aver risposto, mi sono accorto che la domanda era un'altra
Ma ormai ho fatto la fatica...

In generale l'estremo superiore di una famiglia qualsiasi di funzioni convesse è una funzione convessa; come caso particolare, se hai una famiglia finita \(f_1, \ldots, f_n\) di funzione convesse, la funzione
\[
f(x) = \max \{f_1(x),\ldots, f_n(x)\}
\]
è anch'essa convessa.
La dimostrazione, in questo caso, è molto semplice.
Fissati due punti \(x, y\) e dato \(\lambda\in [0,1]\), esiste un indice \(k\in \{1,\ldots n\}\) tale che
\[
f((1-\lambda)x + \lambda y) = f_k((1-\lambda)x + \lambda y).
\]
Poiché \(f_k\) è convessa e \(f_k \leq f\), si avrà che:
\[
f((1-\lambda)x + \lambda y) = f_k((1-\lambda)x + \lambda y) \leq
(1-\lambda) f_k(x) + \lambda f_k(y) \leq
(1-\lambda) f(x) + \lambda f(y).
\]

[tex11]

"Rigel":Dopo aver risposto, mi sono accorto che la domanda era un'altra
Ma ormai ho fatto la fatica...

In generale l'estremo superiore di una famiglia qualsiasi di funzioni convesse è una funzione convessa; come caso particolare, se hai una famiglia finita \(f_1, \ldots, f_n\) di funzione convesse, la funzione
\[
f(x) = \max \{f_1(x),\ldots, f_n(x)\}
\]
è anch'essa convessa.
La dimostrazione, in questo caso, è molto semplice.
Fissati due punti \(x, y\) e dato \(\lambda\in [0,1]\), esiste un indice \(k\in \{1,\ldots n\}\) tale che
\[
f((1-\lambda)x + \lambda y) = f_k((1-\lambda)x + \lambda y).
\]
Poiché \(f_k\) è convessa e \(f_k \leq f\), si avrà che:
\[
f((1-\lambda)x + \lambda y) = f_k((1-\lambda)x + \lambda y) \leq
(1-\lambda) f_k(x) + \lambda f_k(y) \leq
(1-\lambda) f(x) + \lambda f(y).
\]

quindi questo non dimostra la convessità della funzione Max?

[Rigel1]

Certo che la dimostra.
D'altra parte, non è difficile vedere che la funzione
\[
f(x_1, x_2) = \max(x_1, x_2)
\]
non è concava.
Ti basta prendere i punti \(x = (-1, 1)\), \(y = (1, -1)\), e scegliere \(\lambda = 1/2\) per verificare che
\[
f((1-\lambda)x + \lambda y) = \max(2\lambda -1, 1-2\lambda) = 0\qquad\text{se}\ \lambda = 1/2,
\]
mentre
\[
(1-\lambda) f(x) + \lambda f(y) = (1-\lambda) \max(-1,1) + \lambda \max(1, -1) = 1-\lambda + \lambda = 1.
\]

Se invece tu intendevi qualche altra funzione, scrivi esattamente la definizione.

[tex11]

"Rigel":Certo che la dimostra.
D'altra parte, non è difficile vedere che la funzione
\[
f(x_1, x_2) = \max(x_1, x_2)
\]
non è concava.
Ti basta prendere i punti \(x = (-1, 1)\), \(y = (1, -1)\), e scegliere \(\lambda = 1/2\) per verificare che
\[
f((1-\lambda)x + \lambda y) = \max(2\lambda -1, 1-2\lambda) = 0\qquad\text{se}\ \lambda = 1/2,
\]
mentre
\[
(1-\lambda) f(x) + \lambda f(y) = (1-\lambda) \max(-1,1) + \lambda \max(1, -1) = 1-\lambda + \lambda = 1.
\]

Se invece tu intendevi qualche altra funzione, scrivi esattamente la definizione.

nono, la funzione è quella \[ f(x_1, x_2) = \max(x_1, x_2) \]

[Rigel1]

"tex11":nono, la funzione è quella \[ f(x_1, x_2) = \max(x_1, x_2) \]

E allora direi che anche la dimostrazione del fatto che non sia concava (ma convessa) è quella che ti ho scritto...

[tex11]

"Rigel":[quote="tex11"]nono, la funzione è quella \[ f(x_1, x_2) = \max(x_1, x_2) \]

E allora direi che anche la dimostrazione del fatto che non sia concava (ma convessa) è quella che ti ho scritto...[/quote]
grazie mille!