Dimostrazione con Taylor
Mi sono bloccato su questa dimostrazione, qualcuno riuscirebbe ad aiutarmi?
Sia $f [0, \infty[ \to RR$, una funzione limitata, derivabile 2 volte e tale che $lim_{x \to \infty}f'(x) = 0$. Provare che anche $f''(x)$ ha limite per $x \to \infty$ e che vale zero
Sia $f [0, \infty[ \to RR$, una funzione limitata, derivabile 2 volte e tale che $lim_{x \to \infty}f'(x) = 0$. Provare che anche $f''(x)$ ha limite per $x \to \infty$ e che vale zero
Risposte
Sei sicuro che la tesi sia vera?
A me pare di no (ho abbozzato un controesempio ma non ho controllato tutti dettagli, eventualmente lo metto a posto se torna).
Quello che mi pare vero è che c'è una successione $(x_n)$ tale che $x_n\to+\infty$ e $f''(x_n)\to0$. In altri termini il minimo limite di $|f''(x)|$ per $x\to+\infty$ farebbe zero.
Comunque ci penso ancora un po'
A me pare di no (ho abbozzato un controesempio ma non ho controllato tutti dettagli, eventualmente lo metto a posto se torna).
Quello che mi pare vero è che c'è una successione $(x_n)$ tale che $x_n\to+\infty$ e $f''(x_n)\to0$. In altri termini il minimo limite di $|f''(x)|$ per $x\to+\infty$ farebbe zero.
Comunque ci penso ancora un po'
Non faccio questo genere di cose da una vita, ma non penso sia vero. Se consideri qualcosa come
\[ \frac{\sin\,x^3}{x^3} \]
hai che la derivata prima è
\[ \frac{3\,x^3\,\cos\,x^3 - 3\,\sin\,x^3}{x^4} \]
e la derivata seconda è
\[ -\frac{3\,\bigl(4\,x^3\,\cos\,x^3 + (-4 + 3\,x^6)\,\sin\,x^3\bigr)}{x^5} \]
La derivata prima ha limite zero all'infinito ma quella seconda non ha limite. Una semplice analisi asintotica di queste funzioni mostra che \(f'(x) \in O(1/x)\) mentre \(f''(x) \in O(x)\).
EDIT: Preso un esempio più semplice e chiaro.
EDIT2: Credo sia utile aggiungere un qualche commento a questo controesempio e a come ci sono arrivato. La domanda originale sta in pratica chiedendo se il fatto di avere una funzione con valore assoluto decrescente implica che anche il valore assoluto della sua variazione nel tempo debba decrescere. Seno e coseno sono le funzioni che permettono più facilmente di controllare la velocità di variazione in funzione di \(x\) (basta variare la frequenza) per cui era solo necessario aggiustare questo cambiando con la velocità con cui la funzione decresce. Credo sia utile imparare un po' di queste classi di contro-esempi perché permettono spesso di non perdere troppo tempo con tesi che forse non sono vere. Viceversa, tesi che sono invece vere per un certo numero di casi patologici sono invece probabilmente vere.
\[ \frac{\sin\,x^3}{x^3} \]
hai che la derivata prima è
\[ \frac{3\,x^3\,\cos\,x^3 - 3\,\sin\,x^3}{x^4} \]
e la derivata seconda è
\[ -\frac{3\,\bigl(4\,x^3\,\cos\,x^3 + (-4 + 3\,x^6)\,\sin\,x^3\bigr)}{x^5} \]
La derivata prima ha limite zero all'infinito ma quella seconda non ha limite. Una semplice analisi asintotica di queste funzioni mostra che \(f'(x) \in O(1/x)\) mentre \(f''(x) \in O(x)\).
EDIT: Preso un esempio più semplice e chiaro.
EDIT2: Credo sia utile aggiungere un qualche commento a questo controesempio e a come ci sono arrivato. La domanda originale sta in pratica chiedendo se il fatto di avere una funzione con valore assoluto decrescente implica che anche il valore assoluto della sua variazione nel tempo debba decrescere. Seno e coseno sono le funzioni che permettono più facilmente di controllare la velocità di variazione in funzione di \(x\) (basta variare la frequenza) per cui era solo necessario aggiustare questo cambiando con la velocità con cui la funzione decresce. Credo sia utile imparare un po' di queste classi di contro-esempi perché permettono spesso di non perdere troppo tempo con tesi che forse non sono vere. Viceversa, tesi che sono invece vere per un certo numero di casi patologici sono invece probabilmente vere.
Domanda per le persone più esperte: sarebbe sufficiente aggiungere l'ipotesi che esiste \(\lim_{x \to \infty} f''(x)\)? Ho l'impressione che sia così..
@apatriarca.
Certo. Secondo me l'esercizio originale aveva questa ipotesi oppure riguardava un minimo limite (del modulo). Come scrivevo sopra sono convinto che (usando Taylor tra x e 2x) si dimostra l'esistenza di una successione che va all'infinito su cui la derivata seconda tende a zero.
Certo. Secondo me l'esercizio originale aveva questa ipotesi oppure riguardava un minimo limite (del modulo). Come scrivevo sopra sono convinto che (usando Taylor tra x e 2x) si dimostra l'esistenza di una successione che va all'infinito su cui la derivata seconda tende a zero.
No apposto, la consegna era sbagliata. Le due derivate vanno invertite, scusate la perdita di tempo
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