Dimostrazione con le derivate

[Gaggio23]

Devo dimostrare questo teorema senza formule di Taylor ma non mi riesce:
sia $f(x)$ una funzione definita e derivabile $n$ volte in un intervallo $I$. Sia $x_0$ un punto interno a $I$ nel quale sono nulle tutte le derivate fino a quella di ordine $n-1$ e sia $f^((n))(x)$ la prima derivata che non si annulla in $x_0$:
$f'(x_0)=f''(x_0)=...=f^((n-1))(x_0)=0$ con $x_0$ un punto interno a $I$ e $f^((n))(x_0)!=0$.
Allora:
-se $n$ è pari e $f^((n))(x_0)>0$, $x_0$ è un punto di minimo relativo;
-se $n$ è pari e $f^((n))(x_0)<0$, $x_0$ è un punto di massimo relativo;
-se $n$ è dispari e $f^((n))(x_0)>0$, $x_0$ è un punto di flesso a tangente orizzontale ascendente;
-se $n$ è dispari e $f^((n))(x_0)<0$, $x_0$ è un punto di flesso a tangente orizzontale discendente.

I primi due punti penso di esserci riuscito a dimostrarli, ma per gli ultimi due niente. Qualcuno sa come fare?

[Seneca1]

[xdom="Seneca"]Sposto la discussione in Analisi Matematica.[/xdom]