Dimostrazione con Lagrange

zito2
volevo sapere se qualc' uno poteva aiutarmi con questo esercizio visto che non sono stato capace a risolverlo.

l'esercizio sarebbe il sequente:
Dimostrare la disuguaglianza utilizzando il teorema di Lagrange per ogni x,y maggiori di 1

|sen√x - sen√y| <= 1/2|x-y|

ora applicando il teorema di Lagrange f(b) - f(a) / b - a non riesco a verificare se la disuguaglianza sia vera opuure no.

spero che possiate aiutarmi grazie

Risposte
@melia
Prendi come funzione $f(t)= sin sqrt t$, la funzione soddisfa alle ipotesi del teorema di Lagrange in qualunque intervallo in cui $t>0$, in particolare il problema chiede che entrambi gli estremi dell'intervallo siano $>1$. Applico il teorema di Lagrange alla funzione $f(t)= sin sqrt t$, nell'intervallo $[y; x]$, la tesi dice che esiste un punto t interno all'intervallo, qualunque esso sia, in cui $f^I (t)=(f(x)-f(y))/(x-y)$ e quindi anche $|f^I (t)|=|(f(x)-f(y))/(x-y)|$ quindi la relazione sarà vera per ogni t, sostituendo $|f^I (t)|=|1/(2sqrt t)*cos sqrt t|=1/2*|(cos sqrt t)/(sqrt t)|$ il numeratore della frazione è sempre compreso tra -1 e 1, mentre il denominatore è maggiore di 1, quindi $|(cos sqrt t)/(sqrt t)|<1$. Sostituendo nella relazione iniziale si ottiene $|f^I (t)|=1/2*|(cos sqrt t)/(sqrt t)|<1/2$
ricordando $|f^I (t)|=|(f(x)-f(y))/(x-y)|$ si ottiene $|(sin sqrtx-sin sqrty)/x-y|<1/2$ e quindi anche $|(sin sqrtx-sin sqrty)|<1/2*|x-y|$
Spero di essermi spiegata, altrimenti chiedi

zito2
allora se ho ben capito dovrei prendere la funzione come se fosse una funzione generale ed analizzare prima quella poi sostituire la disequazione.
facando un esempio, se abiamo la sequente disequazione $|(senx)/e^x - (seny)/e^y| <= 2|x-y|$ per ogni $x,y >= 0$

prendo la funzione in generale diciamo ossia $f(t) = (sen t)/ e^t $ con -1
quindi andando a sostituire ora la mia f(t) con i valori della disequazione mi ritrovo con $|f^I(t)|=|((sen x )/ e^x - (sen y) / e^y) / (x - y)|< 2$
quindi a questo punto anche $| (sen x) / e^x - (sen y) / e^y | < 2| x - y |$

dimmi se piu' o meno ho capito come si risolvono questi esercizi

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