Dimostrazione con Lagrange
Buongiorno,
mi sto preparando per l'orale di Analisi I e sono un po' in difficoltà con la seguente richiesta:
dimostrare, usando il teorema di Lagrange, che se f:R->R è convessa e derivabile, tale che y=0 è asintoto per x->+inf, allora f(x)>=0 per ogni x reale.
Io ho studiato il teorema di Lagrange e mi sembra di averlo capito, ma qui non so neanche come partire
un aiutino?
Grazie
mi sto preparando per l'orale di Analisi I e sono un po' in difficoltà con la seguente richiesta:
dimostrare, usando il teorema di Lagrange, che se f:R->R è convessa e derivabile, tale che y=0 è asintoto per x->+inf, allora f(x)>=0 per ogni x reale.
Io ho studiato il teorema di Lagrange e mi sembra di averlo capito, ma qui non so neanche come partire
un aiutino?Grazie
Risposte
Suppongo che la tua funzione sia derivabile almeno due volte:
convessa e derivabile 2 volte $\Rightarrow$ derivata seconda positiva $\Rightarrow$ derivata prima decrescente
$\lim_{x \to \infty} f(x) =0 \Rightarrow \lim_{x \to infty} f'(x) =0$
Dunque derivata prima sempre negativa, dunque funzione sempre decrescente e quindi sempre positiva.
convessa e derivabile 2 volte $\Rightarrow$ derivata seconda positiva $\Rightarrow$ derivata prima decrescente
$\lim_{x \to \infty} f(x) =0 \Rightarrow \lim_{x \to infty} f'(x) =0$
Dunque derivata prima sempre negativa, dunque funzione sempre decrescente e quindi sempre positiva.
Per assurdo.
Supponiamo ci sia un punto $a$ in cui la $f$ è strettamente negativa. Chiamo $-K$ il valore che assume (con $K>0$). Visto che la $f$ va a $0$ all'infinito, ci sarà un punto $b$, a destra di $a$, in cui $f$ è maggiore di $- K/2$.
Applico Lagrange su $[a,b]$ (ma và!).
Visto che $f(b)>f(a)$, nel punto $c \in [a,b]$ in cui la derivata prima è uguale a $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, la derivata prima sarà, per l'appunto strettamente positiva. Ma una funzione convessa e derivabile, a destra di un punto qualsiasi sta sopra la retta tangente in quel punto. Quindi $f$ se ne va a + infinito, per $x$ che tende a + infinito. Altro che tendere a zero!
PS: può servire un disegnino, per seguire in modo più rilassato il ragionamento
Supponiamo ci sia un punto $a$ in cui la $f$ è strettamente negativa. Chiamo $-K$ il valore che assume (con $K>0$). Visto che la $f$ va a $0$ all'infinito, ci sarà un punto $b$, a destra di $a$, in cui $f$ è maggiore di $- K/2$.
Applico Lagrange su $[a,b]$ (ma và!).
Visto che $f(b)>f(a)$, nel punto $c \in [a,b]$ in cui la derivata prima è uguale a $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, la derivata prima sarà, per l'appunto strettamente positiva. Ma una funzione convessa e derivabile, a destra di un punto qualsiasi sta sopra la retta tangente in quel punto. Quindi $f$ se ne va a + infinito, per $x$ che tende a + infinito. Altro che tendere a zero!
PS: può servire un disegnino, per seguire in modo più rilassato il ragionamento
Grazie mille!!!
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