Dimostrazione con il simbolo di sommatoria.
Salve, non capisco un passaggio della dimostrazione dell'identità di Vandermonde. Spero qualcuno possa aiutarmi a capire.
L'dentità è la seguente:
$\sum_{i>=0}((m),(i))*((n),(k-i))=((m+n),(k))$
La dimostrazione è questa:
L'dentità di Vandermonde è una immediata conseguenza della semplice uguaglianza:
$(1+x)^m*(1+x)^n=(1+x)^(m+n)$
Infatti, utilizzando il teorema binomiale, si ha:
$(1+x)^m*(1+x)^n=\sum_{i=0}^m((m),(i))*x^i*\sum_{j=0}^n((n),(j))*x^j=\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^n((m),(i))*((n),(j))*x^(i+j)$
Posto $k=i+j$, si ha $j=k-i$; di conseguenza:
[il seguente è il passaggio che non capisco]
$(1+x)^m*(1+x)^n=\sum_{k>=0}(\sum_{i>=0}((m),(i))*((n),(k-i)))*x^k$
Di questo passaggio ho capito le sostituzioni operate in virtù dell'uguaglianza $k=i+j$ dappertutto tranne che per quanto riguarda gli indici delle sommatorie. Come si giustifica la comparsa del $k>=0$ e dell'$i>=0$ al posto dei rispettivi limiti inferiori della sommatoria e la scomparsa dei limiti superiori $n$ ed $m$ del simbolo di sommatoria? Quali sono i limiti superiori delle sommatorie presenti in questo passaggio?
La conclusione della dimostrazione mi è chiara poi
$(1+x)^(m+n)=\sum_{k>=0}((m+n),(k))*x^k$
Si eguaglia i coefficienti di $x^k$, ottenendo l'identità di Vandermonde che risulta così dimostrata.
L'dentità è la seguente:
$\sum_{i>=0}((m),(i))*((n),(k-i))=((m+n),(k))$
La dimostrazione è questa:
L'dentità di Vandermonde è una immediata conseguenza della semplice uguaglianza:
$(1+x)^m*(1+x)^n=(1+x)^(m+n)$
Infatti, utilizzando il teorema binomiale, si ha:
$(1+x)^m*(1+x)^n=\sum_{i=0}^m((m),(i))*x^i*\sum_{j=0}^n((n),(j))*x^j=\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^n((m),(i))*((n),(j))*x^(i+j)$
Posto $k=i+j$, si ha $j=k-i$; di conseguenza:
[il seguente è il passaggio che non capisco]
$(1+x)^m*(1+x)^n=\sum_{k>=0}(\sum_{i>=0}((m),(i))*((n),(k-i)))*x^k$
Di questo passaggio ho capito le sostituzioni operate in virtù dell'uguaglianza $k=i+j$ dappertutto tranne che per quanto riguarda gli indici delle sommatorie. Come si giustifica la comparsa del $k>=0$ e dell'$i>=0$ al posto dei rispettivi limiti inferiori della sommatoria e la scomparsa dei limiti superiori $n$ ed $m$ del simbolo di sommatoria? Quali sono i limiti superiori delle sommatorie presenti in questo passaggio?
La conclusione della dimostrazione mi è chiara poi
$(1+x)^(m+n)=\sum_{k>=0}((m+n),(k))*x^k$
Si eguaglia i coefficienti di $x^k$, ottenendo l'identità di Vandermonde che risulta così dimostrata.
Risposte
Ciao SirDanielFortesque,
Sarei più preciso con gli indici di sommatoria:
$ \sum_{i=0}^k ((m),(i))((n),(k-i))=((m+n),(k)) $
Dai un'occhiata qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity
Sarei più preciso con gli indici di sommatoria:
$ \sum_{i=0}^k ((m),(i))((n),(k-i))=((m+n),(k)) $
Dai un'occhiata qui:
https://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity
Anche su wikipedia non capisco questo modo di esprimere il prodotto tra due polinomi:
$(\sum_{i=0}^ma_i*x^i)*(\sum_{j=0}^nb_j*x^j)=\sum_{r=0}^(m+n)(\sum_{k=0}^ra_k*b_(r-k))*x^r$
Ho capito che wikipedia pone, analogamente alla dimostrazione da me proposta, $r=i+j$. Capisco come questo giustifichi il cambio di esponente di $x^(i+j)$, evidentemente. A questo punto è chiaro anche il cambiamento del limite inferiore $i=0$ con $r=0$ che va fino a $m+n$, ma con che criterio sono stati cambiati il limite inferiore e superiore alla sommatoria in mezzo alle parentesi tonde del secondo membro? Com'è definito $k$?
$(\sum_{i=0}^ma_i*x^i)*(\sum_{j=0}^nb_j*x^j)=\sum_{r=0}^(m+n)(\sum_{k=0}^ra_k*b_(r-k))*x^r$
Ho capito che wikipedia pone, analogamente alla dimostrazione da me proposta, $r=i+j$. Capisco come questo giustifichi il cambio di esponente di $x^(i+j)$, evidentemente. A questo punto è chiaro anche il cambiamento del limite inferiore $i=0$ con $r=0$ che va fino a $m+n$, ma con che criterio sono stati cambiati il limite inferiore e superiore alla sommatoria in mezzo alle parentesi tonde del secondo membro? Com'è definito $k$?
Il coefficiente del monomio di grado $ r $ nel prodotto di due polinomi come si ricava?
Ciao
Ciao
Per vederlo meglio prova con un caso semplice, ad esempio $ m = 2 $ e $n = 3$:
$ (\sum_{i=0}^2 a_i x^i)(\sum_{j=0}^3 b_j x^j) = (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 )(b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + b_3 x^3) = $
$ = a_0 b_0 + a_0 b_1 x + a_0 b_2 x^2 + a_0 b_3 x^3 + a_1 b_0 x + a_1 b_1 x^2 + a_1 b_2 x^3 + a_1 b_3 x^4 + a_2 b_0 x^2 + $ $ + a_2 b_1 x^3 + a_2 b_2 x^ 4 + a_2 b_3 x^5 = $
$ = a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) x + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)x^2 + (a_0 b_3 + a_1 b_2 + a_2 b_1) x^3 + (a_1 b_3 + a_2 b_2) x^4 + $
$ + a_2 b_3 x^5 = $
$ = a_0 b_0 x^0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) x^1 + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)x^2 + (a_0 b_3 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_0) x^3 + $ $ + (a_0 b_4 + a_1 b_3 + a_2 b_2 + a_3 b_1 + a_4 b_0) x^4 + (a_0 b_5 + a_1 b_4 + a_2 b_3 + a_3 b_2 + a_4 b_1 + a_5 b_0) x^5 = $
$ = \sum_{r=0}^{3 + 2 = 5} (\sum_{k=0}^r a_k b_{r - k}) x^r $
convenendo che $a_3 = a_4 = a_5 = 0 $ e $b_4 = b_5 = 0 $.
Generalizzando il discorso...
$ (\sum_{i=0}^2 a_i x^i)(\sum_{j=0}^3 b_j x^j) = (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 )(b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + b_3 x^3) = $
$ = a_0 b_0 + a_0 b_1 x + a_0 b_2 x^2 + a_0 b_3 x^3 + a_1 b_0 x + a_1 b_1 x^2 + a_1 b_2 x^3 + a_1 b_3 x^4 + a_2 b_0 x^2 + $ $ + a_2 b_1 x^3 + a_2 b_2 x^ 4 + a_2 b_3 x^5 = $
$ = a_0 b_0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) x + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)x^2 + (a_0 b_3 + a_1 b_2 + a_2 b_1) x^3 + (a_1 b_3 + a_2 b_2) x^4 + $
$ + a_2 b_3 x^5 = $
$ = a_0 b_0 x^0 + (a_0 b_1 + a_1 b_0) x^1 + (a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0)x^2 + (a_0 b_3 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_0) x^3 + $ $ + (a_0 b_4 + a_1 b_3 + a_2 b_2 + a_3 b_1 + a_4 b_0) x^4 + (a_0 b_5 + a_1 b_4 + a_2 b_3 + a_3 b_2 + a_4 b_1 + a_5 b_0) x^5 = $
$ = \sum_{r=0}^{3 + 2 = 5} (\sum_{k=0}^r a_k b_{r - k}) x^r $
convenendo che $a_3 = a_4 = a_5 = 0 $ e $b_4 = b_5 = 0 $.
Generalizzando il discorso...
Ok grazie. Analizzando i vostri spunti di riflessione ho capito.
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