Dimostrazione con i coefficienti binomiali
Salve a tutti, non so come procedere per dimostrare con i coefficienti binomiali che
$ (1+a)^n>1+an$ con $n>1$
Grazie
$ (1+a)^n>1+an$ con $n>1$
Grazie
Risposte
Ciao! Ci dovresti prima dire in che insieme varia $a$.
Ciao Alin,
Mi pare la consueta disuguaglianza di Bernoulli: https://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_di_Bernoulli
Mi pare la consueta disuguaglianza di Bernoulli: https://it.wikipedia.org/wiki/Disuguaglianza_di_Bernoulli
$a$ è un numero reale positivo.
Ok, come immaginavo; altrimenti, non mi sembrava immediato dimostrare quella più generale che ha già citato pilloeffe (per $a \ge -1$) usando i coefficienti binomiali. Per il binomio di Newton, hai:
$$(1+a)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k 1^{n-k}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k$$
Prova ora a fare dei conti esplicitando i termini dell'ultima sommatoria.
$$(1+a)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k 1^{n-k}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k$$
Prova ora a fare dei conti esplicitando i termini dell'ultima sommatoria.
"Mephlip":
. Per il binomio di Newton, hai:
\[ (1+a)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k 1^{n-k}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k \]
Prova ora a fare dei conti esplicitando i termini dell'ultima sommatoria.
Intendi questo:
se prendo per esempio $n=2$ avrò:
$ (1+a)^2=sum_{k=0}^2 =(2!)/(k!(2-k)!)a^k$
$ (1+a)^2 =(2!)/(0!(2-0)!)a^0+(2!)/(1!(2-1)!)a^1+(2!)/(2!(2-2)!)a^2=1+2a+a^2$
Ora
$( 1+na)= 1+2a$ avendo posto $n=2$, segue
$ (1+a)^2=sum_{k=0}^2 =(2!)/(k!(2-k)!)a^k =1+2a+a^2 >1+2a $
Spero di non aver capito male.
Grazie
Quello è un caso particolare. Prova a riciclare il ragionamento per un $n>1$ generico.
Per $n>1$ avrò:
$ (1+a)^n=sum_{k=0}^n (n!)/(k!(n-k)!)a^k$
$ (1+a)^n =(n!)/(0!(n-0)!)a^0+(n!)/(1!(n-1)!)a^1+....+(n!)/((n-1)!(n-(n-1))!)a^(n-1)+ (n!)/(n!(n-n)!)a^n ==1+na+.....+a^n$
Pertanto
$ (1+a)^n=sum_{k=0}^n (n!)/(k!(n-k)!)a^k =1+na+....+a^n >1+na $
Così va bene?
Grazie mille
$ (1+a)^n=sum_{k=0}^n (n!)/(k!(n-k)!)a^k$
$ (1+a)^n =(n!)/(0!(n-0)!)a^0+(n!)/(1!(n-1)!)a^1+....+(n!)/((n-1)!(n-(n-1))!)a^(n-1)+ (n!)/(n!(n-n)!)a^n ==1+na+.....+a^n$
Pertanto
$ (1+a)^n=sum_{k=0}^n (n!)/(k!(n-k)!)a^k =1+na+....+a^n >1+na $
Così va bene?
Grazie mille
Prego! Sì, va bene (non capisco però perché non scrivi tutto usando più uguaglianze invece di riportare ogni volta $(1+a)^n$ 
). È per questo che ti ho chiesto l'insieme in cui varia $a$, perché se $a$ non è positivo non puoi dire che $\sum_{k=2}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}a^k>0$ e quindi non puoi concludere che $1+na+\sum_{k=2}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}a^k>1+na$.
Inoltre, come ti ha già riportato pilloeffe, si dimostra per induzione che $(1+a)^n \ge 1+na$ per ogni $a \ge -1$ e per ogni $n\in\mathbb{N}$ (disuguaglianza di Bernoulli).
). È per questo che ti ho chiesto l'insieme in cui varia $a$, perché se $a$ non è positivo non puoi dire che $\sum_{k=2}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}a^k>0$ e quindi non puoi concludere che $1+na+\sum_{k=2}^n \frac{n!}{k!(n-k)!}a^k>1+na$.Inoltre, come ti ha già riportato pilloeffe, si dimostra per induzione che $(1+a)^n \ge 1+na$ per ogni $a \ge -1$ e per ogni $n\in\mathbb{N}$ (disuguaglianza di Bernoulli).
Grazie $Mephlip$! Hai ragione riguardo alle ripetizioni.
Riguardo alla dimostrazione per induzione ho fatto così:
Dimostrò per induzione che per $a>=-1$ , $( 1+a)^n >= 1+na$ $[a]$
Base induttiva:
Per $n=1$ la disuguaglianza si riduce a $ 1+a>=1+a$ che è vera;
Passo induttivo
supponiamo adesso che la $[a]$ valga per $n$ (ipotesi induttiva), è dimostriamola per $n+1$:
$(1+a)^(n+1)=(1+a)^n(1+a)$
Per ipotesi induttiva la $[a]$ è valida per $n$, si ha dunque $(1+a)^n>=1+na$, ne consegue che
$(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)= 1 +na+a+na^2=1+(n+1)a+na^2>=1+(n+1)a$
Concludiamo che
$(1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a$
Spero di aver fatto bene!
Riguardo alla dimostrazione per induzione ho fatto così:
Dimostrò per induzione che per $a>=-1$ , $( 1+a)^n >= 1+na$ $[a]$
Base induttiva:
Per $n=1$ la disuguaglianza si riduce a $ 1+a>=1+a$ che è vera;
Passo induttivo
supponiamo adesso che la $[a]$ valga per $n$ (ipotesi induttiva), è dimostriamola per $n+1$:
$(1+a)^(n+1)=(1+a)^n(1+a)$
Per ipotesi induttiva la $[a]$ è valida per $n$, si ha dunque $(1+a)^n>=1+na$, ne consegue che
$(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)= 1 +na+a+na^2=1+(n+1)a+na^2>=1+(n+1)a$
Concludiamo che
$(1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a$
Spero di aver fatto bene!
Prego! La dimostrazione per induzione è corretta. Ti chiedo, giusto per scrupolo: dove hai usato l'ipotesi $a \ge -1$?
Intendi che l'ipotesi $a>=-1$ andava usata qui:
Per ipotesi induttiva la $[a]$ è valida per $n$, si ha dunque $(1+a)^n>=1+na$, ed essendo $a>=-1 rArr 1+a>=0$, ne consegue che
$(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)= 1 +na+a+na^2=1+(n+1)a+na^2>=1+(n+1)a$
Concludiamo che
$(1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a$
Per ipotesi induttiva la $[a]$ è valida per $n$, si ha dunque $(1+a)^n>=1+na$, ed essendo $a>=-1 rArr 1+a>=0$, ne consegue che
$(1+a)^n(1+a)>=(1+na)(1+a)= 1 +na+a+na^2=1+(n+1)a+na^2>=1+(n+1)a$
Concludiamo che
$(1+a)^(n+1)>=1+(n+1)a$
Sì, esatto! Per assicurarsi di preservare il verso moltiplicando per $1+a$ nella disuguaglianza ottenuta dall'ipotesi induttiva.
Grazie per l'aiuto!
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