Dimostrazione con controesempio

[Dott_Khan]

Ciao a tutti, avrei un dubbio su di un problema che mi assilla da un po', in sostanza devo dimostrare che un asserto e' falso mediante un controesempio, eccolo qui.

Data una funzione definita, strettamente decrescente e strettamente positiva su (0,1) allora il limite per x che tende a 1 (da sinistra) della funzione e' maggiore di zero.

Ho provato a pensarle tutte ma ammetto di non avere piu' idee; qualcuno ne ha qualcuna?

[Bremen000]

Non so se ho ben capito la questione del "definita" cioè se è richiesta una funzione definita solo su quell'intervallo o anche su quell'intervallo.

Io opto per la seconda ma non dovrebbe cambiare nulla: $ f(x) = 1-x^2 $, $f$ è definita su $\mathbb{R}$ e dunque anche su $(0;1)$, è strettamente positiva e strettamente decrescente in $(0;1)$. Essendo continua in $x=1$ il limite della funzione da sinistra è il valore della funzione in 1: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) =0 $ che non è maggiore di 0.

Ciao!

[Dott_Khan]

Caspita che vergogna, era davvero banale eheheh non so perche' ma nella mia testa continuavo a pensare che chiedesse che la funzione dovesse essere maggiore di zero, mentre invece era il limite
Molte grazie

[anto_zoolander]

Potevi andarci anche facendo solo considerazioni.
Per il teorema della permanenza del segno, una funzione positiva e diversa da 0 in un determinato intervallo, se ammette limite, ha lo stesso segno della funzione in quell'intervallo.
Dunque se devi dimostrare che la funzione sia positiva, ma il limite no, l'unica possibilità andare contro questo teorema, ovvero considerando proprio $l=0$

Dunque un contro esempio è:

$lim_(x->c)f(x)=0,cin(0,1)$

Che è stato costruito sfruttando le ipotesi e facendo notare che l'unico caso è che si abbia $l=0$, naturalmente esempi pratici ce ne sono moltissimi.

Anche $sin(1-x)$

[Dott_Khan]

Si' si', infatti era proprio quella la considerazione che avevo fatto, cioe' cercavo di inventarmi una curva che andasse a zero nel punto 1 (pensavo cosi' visto che dovevo dimostrare la falsita' dell'asserto) ma nella mia testa continuavo a pensare alla curva e non al limite che palesemente e' proprio zero.
Grazie