Dimostrazione Complessa div$(u \nabla v)=0$
devo dimostrare come da titolo che la divergenza $nabla(u nabla v)=0$ dove $u+iv$ e' una funzione complessa $DERIVABILE$.
come arrivo a qualcosa di producente?
so che se una funzione complessa e' derivabile allora e' vera l'uguaglianza
$nabla v=R(nabla u)$
dove R e' l'operatore rotazione di $pi/2$ che manda $(x,y) to (-y,x)$
le proprieta' della divergenza mi danno che:
$nabla (u nabla v)=u nabla (nabla v) + nabla u nabla v$
giusto??
scrivendola in maniera piu' pedante:
$(partial )/(partial x)(u nabla v)+(partial )/(partial y)(u nabla v)=u (partial )/(partial x)(nabla v)+u(partial )/(partial y) (nabla v)+(partial u)/(partial x)(nablav)+(partial u)/(partial y)(nabla v)$
adesso... se la strada da seguire e' questa, la prima scrittura $nabla v=R(nabla u)$ mi diventa $nabla v=R(nabla u)=(-(partial u)/(partial y),(partial u)/(partial x))$
quindi sostituisco $nabla v$ con il "nuovo"..
e ottengo (dopo un po' di conti..
)..
$((partial u)/(partial x))^2+u((partial^2u )/(partial x^2))-((partial u)/(partial y))^2-u((partial^2 u )/(partial y^2))$
e qui mi blocco.. che altro posso fare?? cosa c'e' che non vedo??
come arrivo a qualcosa di producente?
so che se una funzione complessa e' derivabile allora e' vera l'uguaglianza
$nabla v=R(nabla u)$
dove R e' l'operatore rotazione di $pi/2$ che manda $(x,y) to (-y,x)$
le proprieta' della divergenza mi danno che:
$nabla (u nabla v)=u nabla (nabla v) + nabla u nabla v$
giusto??
scrivendola in maniera piu' pedante:
$(partial )/(partial x)(u nabla v)+(partial )/(partial y)(u nabla v)=u (partial )/(partial x)(nabla v)+u(partial )/(partial y) (nabla v)+(partial u)/(partial x)(nablav)+(partial u)/(partial y)(nabla v)$
adesso... se la strada da seguire e' questa, la prima scrittura $nabla v=R(nabla u)$ mi diventa $nabla v=R(nabla u)=(-(partial u)/(partial y),(partial u)/(partial x))$
quindi sostituisco $nabla v$ con il "nuovo"..
e ottengo (dopo un po' di conti..
)..$((partial u)/(partial x))^2+u((partial^2u )/(partial x^2))-((partial u)/(partial y))^2-u((partial^2 u )/(partial y^2))$
e qui mi blocco.. che altro posso fare?? cosa c'e' che non vedo??
Risposte
Le equazioni di Cauchy-Riemann sono più che sufficienti.
P.S.: Magari abituati a scrivere il puntino dopo il simbolo del gradiente oppure a scrivere $\text{div}$, altrimenti secondo me ti incasini... (ok non sono affari miei
)
P.S.: Magari abituati a scrivere il puntino dopo il simbolo del gradiente oppure a scrivere $\text{div}$, altrimenti secondo me ti incasini... (ok non sono affari miei
)
come sono piu' che sufficienti?? cioe', la condizione di derivabilita' implica di per se' stessa che le condizioni di cauchy-riemann sono soddisfatte, io devo mostrare che quella roba li sopra e' nulla, se sono soddisfatte le condizioni di cauchy riemann..
sbaglio?
hai ragione, il problema e' che se scrivo div, viene fuori $div$..
sbaglio?
hai ragione, il problema e' che se scrivo div, viene fuori $div$..
Scusa per il div... si scrive come ho corretto...
Cioè facciamo ordine: io so che $u+ iv$ è derivabile (in senso complesso), quindi valgono le condizioni di Cauchy-Riemann, quindi vale quello che devi provare.
Torna così?
Cioè facciamo ordine: io so che $u+ iv$ è derivabile (in senso complesso), quindi valgono le condizioni di Cauchy-Riemann, quindi vale quello che devi provare.
Torna così?
il mio problema e' che dovrei dimostrarlo, non assumerlo.. quindi non so che strada prendere..
Aspetta un attimo mashiro... Vorrei capire bene una cosa
Vuoi dimostrare che $"div "(u*\nabla v)=0$ assumendo le ipotesi di derivabilità su $f=u+i*v$, ma non puoi usare le condizioni di Cauchy-Riemann?
Vuoi dimostrare che $"div "(u*\nabla v)=0$ assumendo le ipotesi di derivabilità su $f=u+i*v$, ma non puoi usare le condizioni di Cauchy-Riemann?
Poi, scusa, ma questo
non è equivalente alle condizioni di Cauchy-Riemann?
"mashiro":
so che se una funzione complessa e' derivabile allora e' vera l'uguaglianza
$nabla v=R(nabla u)$
dove R e' l'operatore rotazione di $pi/2$ che manda $(x,y) to (-y,x)$
non è equivalente alle condizioni di Cauchy-Riemann?
si, quelle sono le condizioni di cauchy riemann..
io devo mostrare che la divergenza di quella roba la', e' nulla, non le condizioni di cauchy riemann..
allora..
$\text{div}(u nabla v)=nabla u * nabla v + u*nabla^2v$
il primo prodotto scalare lo esplicito
$((partial u)/(partial x),(partial u)/(partial y))*((partial v)/(partial x)(partial v)/(partial y))=((partial u)/(partialx),(partialu)/(partialy))*(-(partial u)/(partial y),(partial u)/(partial x))$
quindi questo prodotto scalare e' nullo per l'ortogonalita' dei vettori.
$u*nabla^2v$ per essere nullo o i vettori sono ortogonali oppure il laplaciano e' nullo.
il nostro caso e' il secondo
infatti
$v_( x x)=(v_x)_x=(-u_y)_x=(-u_x)_y=(-v_y)_y=-v_(yy)$
quindi il laplaciano e' nullo.
questo e' quello che intendevo con esplicitare, mi sembrava di essere stato chiaro, ma evidentemente non e' cosi..
grazie comunque.. per fortuna credo di essere arrivato in fondo.
io devo mostrare che la divergenza di quella roba la', e' nulla, non le condizioni di cauchy riemann..
allora..
$\text{div}(u nabla v)=nabla u * nabla v + u*nabla^2v$
il primo prodotto scalare lo esplicito
$((partial u)/(partial x),(partial u)/(partial y))*((partial v)/(partial x)(partial v)/(partial y))=((partial u)/(partialx),(partialu)/(partialy))*(-(partial u)/(partial y),(partial u)/(partial x))$
quindi questo prodotto scalare e' nullo per l'ortogonalita' dei vettori.
$u*nabla^2v$ per essere nullo o i vettori sono ortogonali oppure il laplaciano e' nullo.
il nostro caso e' il secondo
infatti
$v_( x x)=(v_x)_x=(-u_y)_x=(-u_x)_y=(-v_y)_y=-v_(yy)$
quindi il laplaciano e' nullo.
questo e' quello che intendevo con esplicitare, mi sembrava di essere stato chiaro, ma evidentemente non e' cosi..
grazie comunque.. per fortuna credo di essere arrivato in fondo.
Guarda che il casino l'hai fatto tutto da solo... 
Ad ogni modo, la dimostrazione è corretta in quanto $u+i*v$ derivabile in senso complesso implica $\nabla u \bot \nabla v$ e $Delta v=0=Delta u$ (qui $Delta$ è il laplaciano in notazione "matematica", che è un po' diversa da quella in uso tra gli ingegneri e fisici $\nabla^2$).
Ad ogni modo, la dimostrazione è corretta in quanto $u+i*v$ derivabile in senso complesso implica $\nabla u \bot \nabla v$ e $Delta v=0=Delta u$ (qui $Delta$ è il laplaciano in notazione "matematica", che è un po' diversa da quella in uso tra gli ingegneri e fisici $\nabla^2$).
conosco bene le due notazioni.. non capisco in ogni caso che casino possa aver fatto..
a me sembra cosi chiaro il mio problema nel primo post..
vabbeh, grazie in ogni caso.
a me sembra cosi chiaro il mio problema nel primo post..
vabbeh, grazie in ogni caso.
ah, gugo, se ti capita vai a fare un giretto qui
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... tml#307943
...se proprio non hai niente da fare ovviamente!
https://www.matematicamente.it/forum/teo ... tml#307943
...se proprio non hai niente da fare ovviamente!
"Gugo82":
$u+i*v$ derivabile in senso complesso implica $\nabla u \bot \nabla v$ e $Delta v=0=Delta u$
Ormai immagino sarà su altri lidi, comunque...
E' chiaro a mashiro che queste due condizioni seguono direttamente dalle condizioni ci Cauchy-Riemann, vero? (Lo specifico perchè sembra che le veda come due cose diverse...)
P.S.: Scusa mashiro se non sono stato abbastanza chiaro. Ciao.
non ti preoccupare.. ti ringrazio di avermi risposto. se ti va passa anche tu dall'altro mio post
grazie.
grazie.
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