Dimostrazione che una forma differenziale è C-lineare
Ho cercato su internet ma ho trovato solo tante definizioni che non mi tornano utili, purtroppo 
Al corso di Analisi Complessa mi hanno definito una 1-forma differenziale in $RR^2$ come $w=A(x,y)dx + B(x,y)dy$... andando avanti, ho definito le variabili $dz=dx + idy$ e $dbar(z)=dx - idy$ e dunque manipolando l'equazione ottengo $w=((A(x,y))/2 - i/2B(x,y))dz + ((A(x,y))/2 + i/2B(x,y))dbar(z)$... o più sinteticamente, $w=alphadz + betadbar(z)$... ho dimostrato che $dz$ è $CC$-lineare e $dbar(z)$ è $CC$-antilineare... ma non riesco a dimostrare che:
"$w$ è $CC$-lineare <-> $beta=0$" & "$w$ è $CC$-antilineare <-> $alpha=0$"
Come faccio?? Per $dz$ e $dbar(z)$ ho applicato il vettore $(x,y)$ e uno scalare $lambda=a + ib$... ma con $w$ come funziona? Cioè, cosa succede al vettore $(x,y)$ se lo butto in pasto a $w$?
Al corso di Analisi Complessa mi hanno definito una 1-forma differenziale in $RR^2$ come $w=A(x,y)dx + B(x,y)dy$... andando avanti, ho definito le variabili $dz=dx + idy$ e $dbar(z)=dx - idy$ e dunque manipolando l'equazione ottengo $w=((A(x,y))/2 - i/2B(x,y))dz + ((A(x,y))/2 + i/2B(x,y))dbar(z)$... o più sinteticamente, $w=alphadz + betadbar(z)$... ho dimostrato che $dz$ è $CC$-lineare e $dbar(z)$ è $CC$-antilineare... ma non riesco a dimostrare che:
"$w$ è $CC$-lineare <-> $beta=0$" & "$w$ è $CC$-antilineare <-> $alpha=0$"
Come faccio?? Per $dz$ e $dbar(z)$ ho applicato il vettore $(x,y)$ e uno scalare $lambda=a + ib$... ma con $w$ come funziona? Cioè, cosa succede al vettore $(x,y)$ se lo butto in pasto a $w$?
Risposte
Avrai che $w=\alpha\ dz+\beta\ d\bar{z}$. Ora, se ci fossero entrambi, potresti affermare che $w$ è lineare o antilineare, in base a ciò che hai dimostrato prima?
Che cosa è successo al vettore $(x,y)$ in $w=alphadz + betadbar(z)$? Viene calcolato in $alpha$ e $beta$? Viene "proiettato con $dz$ e $dbar(z)$? non mi sembrano plausibili nessuna delle due...
Non ho capito cosa intendi... Io ti ho chiesto una cosa che prescinde dal riapplicare la forma al vettore come dici tu.
Io non ti so rispondere con certezza, visto che nella dimostrazione della linearità di $dz$ ( e simmetricamente di $dbar(z)$ ) procedo per conti: ho basato tutto sul fatto che $dz(x,y) = dx(x,y) + i dy(x,y) = x + iy$, visto che sugli appunti ho che $dx$ e $dy$ sono le proiezioni... Con $w$ non so dirti nulla perchè "via conti" non so cosa succede al vettore $(x,y)$...
Si comporta esattamente allo stesso modo:
$w(x,y)=\alpha\ dz(x,y)+\beta\ d\bar{z}(x,y)$
per linearità della somma (che è una cosa nota). A quel punto concludere è semplice. Io ti facevo ragionare in modo euristico: se sommi una forma simmetrica ($dz$) e una antisimmetrica ($d\bar{z}$), che tipo di forma ti aspetti venga fuori? Se quella che viene fuori non risponde a nessuna delle due tipologie, come puoi fare sì che una scleta opportuna di $\alpha, \beta$ renda la tua forma di un tipo o dell'altro?
$w(x,y)=\alpha\ dz(x,y)+\beta\ d\bar{z}(x,y)$
per linearità della somma (che è una cosa nota). A quel punto concludere è semplice. Io ti facevo ragionare in modo euristico: se sommi una forma simmetrica ($dz$) e una antisimmetrica ($d\bar{z}$), che tipo di forma ti aspetti venga fuori? Se quella che viene fuori non risponde a nessuna delle due tipologie, come puoi fare sì che una scleta opportuna di $\alpha, \beta$ renda la tua forma di un tipo o dell'altro?
Allora divido i metodi di soluzione:
1) "via conti": ti spiego il mio blocco mentale... presa più semplicemente la forma $w=Adx$, con $A,dx : RR^2 -> RR$ tale che $dx(x,y)=x$, cosa è? Mi sono dato due risposte: è una composizione, cioè $Adx(x,y)=A(x)$, ma ovviamente non va bene perchè a questo punto $A$ non è più a due variabili... allora è un "prodotto", cioè $A(x,y)dx(x,y)=A(x,y) x $... e questa sarebbe più plausibile... ma nel caso che ho proposto $w=alphadz + betadbar(z)$, se fosse un "prodotto" la $CC$-linearità dipenderebbe anche da $alpha$ (anche se $beta=0$)... quindi come mi devo comportare con $alpha$ e $beta$? loro non vengano calcolate in $(x,y)$?
2) via euristica: la somma ovviamente non è nè lineare nè antilineare se non metto ipotesi su $alpha$ e $beta$... ponendo una di quest'uiltime due uguale a zero, casco nel problema 1) (cioè $Adz$ "subisce" la linearità o l'anitlinearità di $alpha$?)... per il viceversa, ho paura che mi serva nuovamente questa informazione.
1) "via conti": ti spiego il mio blocco mentale... presa più semplicemente la forma $w=Adx$, con $A,dx : RR^2 -> RR$ tale che $dx(x,y)=x$, cosa è? Mi sono dato due risposte: è una composizione, cioè $Adx(x,y)=A(x)$, ma ovviamente non va bene perchè a questo punto $A$ non è più a due variabili... allora è un "prodotto", cioè $A(x,y)dx(x,y)=A(x,y) x $... e questa sarebbe più plausibile... ma nel caso che ho proposto $w=alphadz + betadbar(z)$, se fosse un "prodotto" la $CC$-linearità dipenderebbe anche da $alpha$ (anche se $beta=0$)... quindi come mi devo comportare con $alpha$ e $beta$? loro non vengano calcolate in $(x,y)$?
2) via euristica: la somma ovviamente non è nè lineare nè antilineare se non metto ipotesi su $alpha$ e $beta$... ponendo una di quest'uiltime due uguale a zero, casco nel problema 1) (cioè $Adz$ "subisce" la linearità o l'anitlinearità di $alpha$?)... per il viceversa, ho paura che mi serva nuovamente questa informazione.
Fai confusione tra "vettore" e coordinate di un punto. Facciamo in questo modo, indichiamo il vettore come $(X,Y)$ (e non con le minuscole). Allora per definizione
$dx(X,Y)=X,\qquad A\ dx(X,Y)=A\cdot X$ ($\cdot$ indica il prodotto)
e di conseguenza, valendo una cosa analoga per $dy$ possiamo scrivere
$[A\ dx+B\ dy](X,Y)=A\ dx(X,Y)+B\ dy(X,Y)=A\cdot X+B\cdot Y$
Ora ti è più chiaro come procedere?
$dx(X,Y)=X,\qquad A\ dx(X,Y)=A\cdot X$ ($\cdot$ indica il prodotto)
e di conseguenza, valendo una cosa analoga per $dy$ possiamo scrivere
$[A\ dx+B\ dy](X,Y)=A\ dx(X,Y)+B\ dy(X,Y)=A\cdot X+B\cdot Y$
Ora ti è più chiaro come procedere?
Purtroppo non mi è ancora chiaro $A cdot X$ cosa è? $A$ non "interagisce" con il vettore $(x,y) in RR^2$?
$A cdot X$ cosa è? $A$ non "interagisce" con il vettore $(x,y) in RR^2$?
I coefficienti di una forma sono funzioni, così come, in genere, sono funzioni le componenti di un vettore. Una forma agisce su un vettore "selezionando" la componente relativa alla sua "coordinata": il senso è che in generale puoi scrivere un vettore come
$v=X i+Y j$
dove $i,j$ sono le due direzioni ortogonali del piano $xOy$ mentre $X,Y$ sono funzioni e per definizione si ha che
$dx(v)=X,\qquad dx(v)=Y$
Detto questo, si avrà ancora, dette $A,B$ le funzioni componenti della forma
$[A\ dx+B\ dy](v)=A\ dx(v)+B\ dy(v)=A\cdot X+B\cdot Y$.
Mi pongo (e ti pongo) una domanda: ma tu lo sai come si comporta una applicazione lineare e come si definisce (parlo di argomenti di algebra lineare)? Perché più che altro a me sembra che tu non abbia compreso che una forma è semplicemente una applicazione lineare particolare.
$v=X i+Y j$
dove $i,j$ sono le due direzioni ortogonali del piano $xOy$ mentre $X,Y$ sono funzioni e per definizione si ha che
$dx(v)=X,\qquad dx(v)=Y$
Detto questo, si avrà ancora, dette $A,B$ le funzioni componenti della forma
$[A\ dx+B\ dy](v)=A\ dx(v)+B\ dy(v)=A\cdot X+B\cdot Y$.
Mi pongo (e ti pongo) una domanda: ma tu lo sai come si comporta una applicazione lineare e come si definisce (parlo di argomenti di algebra lineare)? Perché più che altro a me sembra che tu non abbia compreso che una forma è semplicemente una applicazione lineare particolare.
Bè presa $f: V -> W$ si dice applicazione lineare se $f(lambdav + deltaw) = lambdaf(v) + deltaf(w)$ per ogni $v,w in V$ e $lambda,delta in K$, dove $K$ è il campo su cui è costruito $V$. $f: CC -> CC$ si dice antilineare se $f(lambdaz)=bar(lambda)f(z)$... questo è quello su cui mi sono basato per svolgere quanto potevo 
Ma quindi A e B sono delle specie di "costanti"? Ti chiedo un esempio: sia $w=x^2y^3dx$ una 1-forma complessa (dunque $A=x^2y^3$)... se prendo il vettore $(1,2) in RR^2$, ho che $w(1,2)=x^2y^3cdot1$ oppure $w(1,2)=8$ (ovvero calcolo $A(1,2)$)? O sono ancora una volta in alto mare?
Ma quindi A e B sono delle specie di "costanti"? Ti chiedo un esempio: sia $w=x^2y^3dx$ una 1-forma complessa (dunque $A=x^2y^3$)... se prendo il vettore $(1,2) in RR^2$, ho che $w(1,2)=x^2y^3cdot1$ oppure $w(1,2)=8$ (ovvero calcolo $A(1,2)$)? O sono ancora una volta in alto mare?
No, aspetta, stai facendo ancora confusione. Ti ripeto che il senso di dire, come scritto prima, che $dx(v)=X$ implica che la forma $dx$ valuta la prima componente. Nel tuo caso, non puoi applicare una forma ad un vettore costante, in quanto la forma, essendo in sostanza un "ammasso di differenziali" si comporta a mo' di derivazione (e quindi verrebbe tutto uguale a zero). Un esempio corretto è il seguente: se $F=(x^2,x+y)$ e un campo vettoriale e se $\omega=x\ dx-y^2\ dy$ è una forma, allora
$\omega(F)=x\cdot x^2-y^2(x+y)$
Chiaro ora?
$\omega(F)=x\cdot x^2-y^2(x+y)$
Chiaro ora?
Ah e io che credevo che $w= RR^2 -> RR$ cioè che fosse un funzionale di $RR^2$, perchè sugli appunti ho scritto che $dx$ e $dy$ sono una base di $Hom(RR^2,RR)$ ed essendo $A,B$ altre funzioni che vanno da $RR^2$ in $RR$, l'ho presa come una combinazione lineare di funzionali e che dunque $w$ fosse ancora un funzionale!!
Dunque $w$ è un 'applicazione che va da $Hom(RR^2,RR)$ in $Hom(RR^2,RR)$?
cioè che fosse un funzionale di $RR^2$, perchè sugli appunti ho scritto che $dx$ e $dy$ sono una base di $Hom(RR^2,RR)$ ed essendo $A,B$ altre funzioni che vanno da $RR^2$ in $RR$, l'ho presa come una combinazione lineare di funzionali e che dunque $w$ fosse ancora un funzionale!!Dunque $w$ è un 'applicazione che va da $Hom(RR^2,RR)$ in $Hom(RR^2,RR)$?
Rileggendo quello che hai scritto, mi è venuto un altro dubbio: te hai affermato che $dx(v)=X$, e dunque anche qui v è un vettore di funzioni... ma io sugli appunti, come ho detto sopra, ho $dx:RR^2 -> RR$ con $dx(x,y)=x$, quindi "prende in pasto" vettori di costanti... e ho dimostrato la linearità di $dz$ e $dbar(z)$ con vettori $(x,y) in RR^2$. Quindi qual è la versione corretta?
E' solo una questione di notazione. Io sto usando quella che ho scritto per evitare di mettere insieme $x,y$ che significano una cosa con le altre. In ogni caso tu pensi a $RR^2$ e $R$ come insiemi numerici, quando invece devi pensare ad essi come spazi vettoriali. E' ovvio che il vettore $(x,y)$ rappresenta una generica coordinata e quindi possa essere pensato come funzione. Sei tu che continui a considerare le cose come se fossero costanti.
Ho capito cosa vuoi dire... è come se avessi definito due funzioni $f_1$ e $f_2$ reali tali che $(f_1(x),f_2(y)) in RR^2$, cioè ogni elemento di $RR^2$ si vede come una coppia di componenti ottenuti con due applicazioni $f_1$ e $f_2$... giusto?
Ma quindi $w$ è un''applicazione che va da dove a dove? Qui deve spuntare fuori qualche $Hom(V,W)$ altrimenti $f_1$ e $f_2$ non so da dove prenderle...
Ma quindi $w$ è un''applicazione che va da dove a dove? Qui deve spuntare fuori qualche $Hom(V,W)$ altrimenti $f_1$ e $f_2$ non so da dove prenderle...
Infatti nel tuo caso $V=RR^2,\ W=RR$ intesi come lo spazio di valori assunti da una funzione, Se noti la definizione che ti ho fornito io non modifica le componenti dei vettori, ma agisce solo sulle basi. Il senso è il seguente: se i vettori su cui fai agire le forme sono in $RR^2$ (nel senso che hanno 2 componenti) e hanno una base $(i,j)$ allora la coppia $(dx,dy)$ risulta la base duale a questa. E come dovresti sapere, un operatore nella base duale è una applicazione lineare. Ergo le forme sono operatori duali ai vettori, da cui le relazioni scritte prima per le definizioni.
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