Dimostrazione che Q non è completo in Marcellini-Sbordone
Ho iniziato a studiare il Marcellini Sbordone (Analisi Matematica Uno). A Pag. 24, il libro dimostra che nell'insieme Q non vale l'assioma di completezza. Per farlo, prima spiega che non esiste in Q la radice di 2 (tralascio i passaggi), poi divide Q in due sezioni: A (tutti i numeri <=0 e quelli >0 il cui quadrato è < 2) e B (tutti i numeri >0 il cui quadrato è >2).
Infine dimostra che un numero c compreso tra quelli di A e B non esiste, e qui non ho capito un passaggio:
"Supponiamo che c appartenga ad A. Non potendo essere $c<=0$, ne segue che $c^2<2$. Sia n un numero naturale maggiore di $(2c+1)/(2-c^2)$, certamente esistente perla proprietà di Archimede. Allora, essendo $1/n^2<1/n$,
$(c+1/n)^2=c^2+2c/n+1/n^2
per cui $c+1/n$ appartiene ad A, il che è assurdo. Analogamente si perviene ad un assurdo supponendo che c appartenga a B.
Ora, io non ho proprio capito:
a) Perché definisco n come $(2c+1)/(2-c^2)$? Da che derivo questa espressione?
b) e in base a cosa poi continuo con $(c+1/n)^2$??
c) e poi come mai scrivo che il tutto è minore di 2? Io so che $c^2<2$ (per ipotesi), non che $c+1/n$ lo sia...
Infine dimostra che un numero c compreso tra quelli di A e B non esiste, e qui non ho capito un passaggio:
"Supponiamo che c appartenga ad A. Non potendo essere $c<=0$, ne segue che $c^2<2$. Sia n un numero naturale maggiore di $(2c+1)/(2-c^2)$, certamente esistente perla proprietà di Archimede. Allora, essendo $1/n^2<1/n$,
$(c+1/n)^2=c^2+2c/n+1/n^2
per cui $c+1/n$ appartiene ad A, il che è assurdo. Analogamente si perviene ad un assurdo supponendo che c appartenga a B.
Ora, io non ho proprio capito:
a) Perché definisco n come $(2c+1)/(2-c^2)$? Da che derivo questa espressione?
b) e in base a cosa poi continuo con $(c+1/n)^2$??
c) e poi come mai scrivo che il tutto è minore di 2? Io so che $c^2<2$ (per ipotesi), non che $c+1/n$ lo sia...
Risposte
Ragiona in questo modo.
Tu hai un numero $c\in QQ$, $c>0$, $c^2 < 2$.
Vuoi far vedere che esiste un numero naturale $n$ tale che $c+\frac{1}{n}\in A$, cioè $(c+\frac{1}{n})^2 < 2$.
(Intuitivamente questo sarà vero se $n$ è abbastanza grande; si tratta di determinare esplicitamente un valore che vada bene.)
Abbiamo che, per ogni $n\ge 2$,
$(c+\frac{1}{n})^2 = c^2 + 2c/n + 1/n^2 < c^2 + 2c/n + 1/n = c^2 + (2c+1)/n$,
dal momento che $n^2 > n$.
Di conseguenza, se $c^2 + (2c+1)/n < 2$, anche $(c+1/n)^2 < 2$.
D'altra parte, se $n\ge 2$,
$c^2 + (2c+1)/n < 2$ se e solo se $n > (2c+1)/(2-c^2)$.
Tu hai un numero $c\in QQ$, $c>0$, $c^2 < 2$.
Vuoi far vedere che esiste un numero naturale $n$ tale che $c+\frac{1}{n}\in A$, cioè $(c+\frac{1}{n})^2 < 2$.
(Intuitivamente questo sarà vero se $n$ è abbastanza grande; si tratta di determinare esplicitamente un valore che vada bene.)
Abbiamo che, per ogni $n\ge 2$,
$(c+\frac{1}{n})^2 = c^2 + 2c/n + 1/n^2 < c^2 + 2c/n + 1/n = c^2 + (2c+1)/n$,
dal momento che $n^2 > n$.
Di conseguenza, se $c^2 + (2c+1)/n < 2$, anche $(c+1/n)^2 < 2$.
D'altra parte, se $n\ge 2$,
$c^2 + (2c+1)/n < 2$ se e solo se $n > (2c+1)/(2-c^2)$.
Grazie per la risposta, sto studiando analisi dopo una laurea in ambito umanistico e non è facile, perché non ricordo più nulla di quello che ho fatto al liceo! Devo dire però che il Marcellini-Sbordone è in alcuni punti un po' confusionario, nel senso che ad esempio quel $(2c+1)/(2-c^2)$ a inizio dimostrazione disorienta e non si capisce dove l'abbiano preso. Ora ho capito. Questa dimostrazionel'hai spiegata meglio tu!
Scusate se riapro questa vecchia discussione, ma non mi è ben chiara una cosa:
Dimostrare che in Q non esiste la radice di 2 non è già sufficiente a concludere che Q è un insieme non completo?
Qual è la necessità di introdurre questa dimostrazione?
Dimostrare che in Q non esiste la radice di 2 non è già sufficiente a concludere che Q è un insieme non completo?
Qual è la necessità di introdurre questa dimostrazione?
Devi ragionare su \(\mathbb{Q}\).
Non puoi dire "siccome \(\sqrt{2}\) non appartiene a \(\mathbb{Q}\) allora \(\mathbb{Q}\) non è completo".
Equivale a dire che, siccome un autocarro non appartiene a \(\mathbb{R}\), allora \(\mathbb{R}\) non è completo.
Non puoi dire "siccome \(\sqrt{2}\) non appartiene a \(\mathbb{Q}\) allora \(\mathbb{Q}\) non è completo".
Equivale a dire che, siccome un autocarro non appartiene a \(\mathbb{R}\), allora \(\mathbb{R}\) non è completo.
io non ho capito in che modo giungere ad un assurdo affermando che c+1/n appartiene ad A implichi che c non appartenga ad A e di conseguenza c non appartenga a Q. Help me
sono passati un po' di anni dall'ultima risposta però ho l'orale di analisi tra 2 giorni, spero qualcuno risponda, la professoressa ha masso questo argomento tra quelli d'esame ma non ho trovato nessun file a riguardo.
I passaggi della dimostrazione li ho capiti ma non capisco come la conclusione dell'esistenza di tale numero n possa dimostrare l'incompletezza di Q, spero che qualcuno possa fare chiarezza
I passaggi della dimostrazione li ho capiti ma non capisco come la conclusione dell'esistenza di tale numero n possa dimostrare l'incompletezza di Q, spero che qualcuno possa fare chiarezza
Supponendo che esista:
poichè:
si perviene ad un assurdo:
$c in A$
$AA a in A: c gt= a$
$AA b in B: c lt= b$
poichè:
$a=c+1/n in A$
si perviene ad un assurdo:
$c lt a$
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