Dimostrazione che N è infinito

[condor3]

Vorrei capire la seguente dimostrazione:

Dato un insieme E(n) = {1,2,....,n}

Se per assurdo fosse card(N) = n, esisterebbe un'applicazione biiettiva f: N --> E(n) la cui restrizione a E(n) avrebbe come immagine un sottoinsieme proprio di E(n), diciamo E(m) (con m. Ma allora tale restrizione determinerebbe una corrispondenza biunivoca tra insiemi, E(n) e E(m), di cardinalità diversa.

Come è possibile che la restrizione a E(n) abbia come immagine un sottoinsieme proprio di E(n)??

1) Se io restringo ad E(n) mi ritrovo con una funzione f: E(n) --> E(n)
2) L'immagine non è un sottoinsieme proprio di E(n) ma è proprio E(n)
3) Trovo la funzione identità

cosa mi sfugge?

[Relegal]

Il punto è che sei nell'ipotesi di assurdo in cui $f:NN->E(n)$ è una biiezione. Da ciò segue che che se restringi la funzione a $E(n)$, pensato come sottoinsieme proprio di $NN$, la sua immagine attraverso $f$ è un sottoinsieme proprio di $E(n)$. Se infatti non fosse così, la mappa $f$ non potrebbe essere una biiezione (perderebbe l'iniettività ).

[condor3]

Intanto Relegal ti ringrazio molto della risposta (ci sono quasi credo...lasciami fare qualche domanda)

Il punto e' che se siamo nell'assurdo e card(E(n))=card(N) allora E(n) non e' un sottoinsieme proprio di N. Provo a fare un esempio:

E(n)={1,2,3,4}

n=4

card(N)=4

N={0,1,2,3}

Esiste f: N --> E(n)

scrivo le corrispondenze:
N-->E(n)
0-->1
1-->2
2-->3
3-->4

Ora quale sarebbe la restrizione da applicare? (considerando l'elemento zero, a cui non avevo pensato prima, mi sembra anche difficile la restrizione...!?)

[Relegal]

Il problema nasce nel momento in cui scrivi $NN={0,1,2,3}$. Questo non è $NN$! L'insieme degli interi naturali è sempre lo stesso, cioè $NN={0,1,2,3,4, ...}$.
L'obiettivo è quello di dimostrare che questo insieme sia infinito. Per farlo si suppone per assurdo che non lo sia e che abbia cardinalità pari a $n$. A questo punto introduci l'insieme $E(n)$ di cardinalità $n$.
Da qui l'esistenza della biiezione e, poichè $E(n) sub NN$, l'assurdo.

[condor3]

Se si assume che N sia finito allora tale assunzione dovrebbe essere portata fino alla fine, altrimenti si potrebbe dire:

Assumiamo che N sia finito ... cio' e' assurdo perche' N e' infinito

Se e' vero che card(N)=n (per assurdo) e' anche vero che esiste un'applicazione biiettiva con E(n)

Pero' allora i casi sono due:
1) (continuo ad assumere card(N)=n) Non si puo' applicare una restrizione perche' gli elementi di N sono diversi da quelli di E(n)
2) (non assumo piu' che card(N)=n...perche' N e' infinito) Allora posso applicare una restrizione ad E(n), ma non mi sembra che l'immagine sia un E(m) con m

In nessuno dei due i casi vedo la possibilita' di arrivare a dire che la restrizione porta ad una corrispondenza biunivoca tra insiemi di cardinalita' diversa...?!


[mod="gugo82"]@condor: Ma si può sapere perchè usi il grassetto?[/mod]

[condor3]

era per mettere in risalto la parte matematica dato che non sono ancora espertissimo con il codice...se vuoi lo tolgo