Dimostrazione che l'intervallo $[0,1]$ è più che numerabile
Salve! Ho alcuni dubbi sulla dimostrazione del mio prof. che l'intervallo $[0,1] in RR$ è più che numerabile
Dimostrazione:
Supponiamo per assurdo che l'intervallo $[0,1] $sia numerabile. Per numerabile intendo che ha la stessa cardinalità di $NN$
Quindi $[0,1] = {alpha_1, alpha_2,alpha_3,alpha_4,...,alpha_n} | n in NN }
Divido l'intervallo $[0,1]$ in 2 parti : $[0,1/2] uu [1/2,1]$ e chiamo $I_1$ l'intervallo che non contiene $alpha_1$ o $alpha_n$ a scelta se $alpha_1=1/2$ (non capisco questo passaggio....$alpha_n$ a scelta se $alpha_1=1/2$ perchè $1/2 !in NN $? )
Poi dividiamo $I_1$ in 2 parti e chiamo $I_2$ l'intervallo che non contiene $alpha_1$. Continuiamo a dividere $I_2$ e chiamo $I_3$ l'intervallo che non contiene $alpha_2$. Reiterando più volte avrò una successione del tipo:
$I_1 supe I_2 supe I_3 supe I_4 supe...supe I_(2k) | alpha_k !in I_(2k) $ (perchè$ I_(2k)$ ?? Non capisco il $2k$....)
Per l'assioma di continuità, sia ${beta} = nn_(k in NN) I_k $ $beta in [0,1]$ $ beta != a_k AAk in NN$
Se infatti $alpha_k=beta$ per qualche $k in NN $, $beta !in I_2k rArr beta !in nn_(k in NN) I_k$ che è un assurdo. E qui finisce la dimostrazione.
Dimostrazione:
Supponiamo per assurdo che l'intervallo $[0,1] $sia numerabile. Per numerabile intendo che ha la stessa cardinalità di $NN$
Quindi $[0,1] = {alpha_1, alpha_2,alpha_3,alpha_4,...,alpha_n} | n in NN }
Divido l'intervallo $[0,1]$ in 2 parti : $[0,1/2] uu [1/2,1]$ e chiamo $I_1$ l'intervallo che non contiene $alpha_1$ o $alpha_n$ a scelta se $alpha_1=1/2$ (non capisco questo passaggio....$alpha_n$ a scelta se $alpha_1=1/2$ perchè $1/2 !in NN $? )
Poi dividiamo $I_1$ in 2 parti e chiamo $I_2$ l'intervallo che non contiene $alpha_1$. Continuiamo a dividere $I_2$ e chiamo $I_3$ l'intervallo che non contiene $alpha_2$. Reiterando più volte avrò una successione del tipo:
$I_1 supe I_2 supe I_3 supe I_4 supe...supe I_(2k) | alpha_k !in I_(2k) $ (perchè$ I_(2k)$ ?? Non capisco il $2k$....)
Per l'assioma di continuità, sia ${beta} = nn_(k in NN) I_k $ $beta in [0,1]$ $ beta != a_k AAk in NN$
Se infatti $alpha_k=beta$ per qualche $k in NN $, $beta !in I_2k rArr beta !in nn_(k in NN) I_k$ che è un assurdo. E qui finisce la dimostrazione.
Risposte
.......perchè se $\alpha_{1}=1/2$ sarebbe in tutti e due gli intervalli e nn potresti scegliere quello che nn lo contiene, vuol dire che potresti essere sfigato,
ma la dimostrazione può andare avanti se scegli l'intervallo che nn contiene $\alpha_{2}$, poi lo dividi e scegli quello che non contiene $\alpha_{1}$, recuperandolo. Nota che $\alpha_{1}$ nn sta in $I_{2}$, ma sta in $I_{1}$........da cui il $2k$,(potresti soffrire di questa sfiga ad ogni suddivisione!).
Poi $1/2$ non è intero, quindi nn sta in nei naturali,gli indici sono naturali, gli $\alpha_{n} sono in [0,1]!
vedi un po'
saluti!
ma la dimostrazione può andare avanti se scegli l'intervallo che nn contiene $\alpha_{2}$, poi lo dividi e scegli quello che non contiene $\alpha_{1}$, recuperandolo. Nota che $\alpha_{1}$ nn sta in $I_{2}$, ma sta in $I_{1}$........da cui il $2k$,(potresti soffrire di questa sfiga ad ogni suddivisione!).
Poi $1/2$ non è intero, quindi nn sta in nei naturali,gli indici sono naturali, gli $\alpha_{n} sono in [0,1]!
vedi un po'
saluti!
"holmes":
Nota che $\alpha_{1}$ nn sta in $I_{2}$, ma sta in $I_{1}$........da cui il $2k$,(potresti soffrire di questa sfiga ad ogni suddivisione!).
saluti!
e che mi dici di $alpha_2$ che non sta in $I_2 $ ma in $I_3$. Il $2k$ dove finisce?
...........si, se ho interpretato bene quello che dici, il tuo dubbio è più che lecito, il 2k serve a sostenere l'affermazione in modo definitivo.
Sicuamente per n=2k vale una certa affermazione........
però spiegami meglio quello che nn ti torna.................(potrei difettare anche io eh!)
saluti!
Sicuamente per n=2k vale una certa affermazione........
però spiegami meglio quello che nn ti torna.................(potrei difettare anche io eh!)
saluti!
Se, al passo $n$, tu prendessi un sottointervallo di ampiezza $1/3$ del precedente e non contenente $\alpha_n$ (cosa ovviamente sempre possibile), avresti risolto tutti i tuoi problemi...
Sicuramente do per scontato qualcosa (non ho fatto praticamente nulla di teoria della cardinalità) ma non si potrebbe fare semplicemente così:
Supponiamo $[0, 1]$ sia numerabile, allora $[n, n+1]$ è numerabile (basta considerare la biezione $f:[0, 1] \rarr [n, n+1]$ che a $x$ associa $x+n$). Allora, poichè $RR = uu_n[n, n+1]$, si ha che $RR$ è numerabile, assurdo ?
Supponiamo $[0, 1]$ sia numerabile, allora $[n, n+1]$ è numerabile (basta considerare la biezione $f:[0, 1] \rarr [n, n+1]$ che a $x$ associa $x+n$). Allora, poichè $RR = uu_n[n, n+1]$, si ha che $RR$ è numerabile, assurdo ?
@ Rigel..dici di considerare intervalli di ampiezza $1/3$ al posto di dimezzarli?
@ Gatto89: mi piace la tua dimostrazione..ma questa la voglio imparare lo stesso
@ Gatto89: mi piace la tua dimostrazione..ma questa la voglio imparare lo stesso
Sì.
In questo modo costruisci comunque una successione di compatti inscatolati, senza però avere il problema del caso particolare che hai se $\alpha_n$ è il punto medio dell'intervallo precedente.
@gatto89: la tua purtroppo non è una dimostrazione. E' infatti noto (e facilmente dimostrabile) che $RR$ ha la stessa cardinalità di un qualsiasi intervallo non banale.
In questo modo costruisci comunque una successione di compatti inscatolati, senza però avere il problema del caso particolare che hai se $\alpha_n$ è il punto medio dell'intervallo precedente.
@gatto89: la tua purtroppo non è una dimostrazione. E' infatti noto (e facilmente dimostrabile) che $RR$ ha la stessa cardinalità di un qualsiasi intervallo non banale.
il 2k viene da una induzione,
se $\alpha_{k}$ non sta in $I_{2k}$ allora $alpha_{k+1}$ non sta al più in $I_{2(k+1)}$.(per k=1 è provato e stesso raginamento per termine k-esimo)
mentre nn si può sempre dire con certezza che $\alpha_{k}$ non sta in $I_{k}$
saluti
se $\alpha_{k}$ non sta in $I_{2k}$ allora $alpha_{k+1}$ non sta al più in $I_{2(k+1)}$.(per k=1 è provato e stesso raginamento per termine k-esimo)
mentre nn si può sempre dire con certezza che $\alpha_{k}$ non sta in $I_{k}$
saluti
"holmes":
il 2k viene da una induzione,
se $\alpha_{k}$ non sta in $I_{2k}$ allora $alpha_{k+1}$ non sta al più in $I_{2(k+1)}$.(per k=1 è provato e stesso raginamento per termine k-esimo)
mentre nn si può sempre dire con certezza che $\alpha_{k}$ non sta in $I_{k}$
saluti
ok grazie
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