Dimostrazione che la diagonale di un quadrato non corrisponde ad alcun numero razionale
Buona sera a tutti,
piccola premessa:
mi chiamo Gianpiero, ho 35 anni, ai miei 18 anni mi sono iscritto in Ingegneria, ho superato Geometria, Fisica ma stentavo in Analisi Matematica... quindi dopo solo un anno di università ho abbandonato gli studi cominciando a fare qualche lavoretto.
Qualche anno dopo ho deciso di iscrivermi in Economia, riuscendo a laurearmi in 3 anni con lode e... soddisfazione per me superando Matematica con lode (programma impegnativo ma non così approfondito come Analisi Matematica, questo va detto!).
Ora, dopo più di 10 anni, vorrei riprendere gli studi e sto provando a fare un mio "corso di azzeramento" in Matematica così da capire cosa fare nel 2017...
Mi rendo conto di essere davvero a terra! Dopo la laurea e l'intensità degli studi oggi ho come il "cervello spento". Ho difficoltà a fare una semplice somma a mente!!!
Dopo essermi fatto la domanda: "Ma che mi sta succedendo?!?" ho pensato di dedicare qualche ora al giorno nello studio della Matematica e di Inglese.
Tutto questo per farvi capire il mio livello pari a zero ma la voglia di riscatto sull'argomento!
Nel 1999 per Analisi Matematica I comprai il libro "Analisi Matematica I" di Andrea Bacciotti e Fulvio Ricci, oltre qualche dispensa online sto cominciando da questo.
Quando si parla di numeri razionali gli autori li rappresentano facendo ricorso alla visualizzazione geometrica.
Considerano una retta, fissano due punti O ed U indicando un riferimento cartesiano.
O = 0 e U = 1
Riporto:
"Con semplici operazioni geometriche è possibile costruire multipli e sottomultipli del segmento OU e quindi assegnare ad ogni numero razionale q un punto P sulla retta. Si dice in tal caso che q è l'ascissa di P."
Poi parla della proprietà che esiste un numero razionale p tale che se prendiamo una qualunque coppia di razionali q ed s con q < s allora q < p < s bata prendere p = (q + s)/2. Quindi ci sono infiniti numeri razionali.
"Tuttavia non è vero che a tutti i punti della retta sia possibile attribuire un'ascissa razionale"
Qui i primi dubbi... che cosa è un' "ascissa razionale"... non mi è chiaro. Non riesco a ricondurla alla definizione che ho di ascissa nell'asse cartesiano.
Ora la dimostrazione (che non ho capito...):
"Il segmento OA di lunghezza uguale alla diagonale del quadrato di lato OU non corrisponde ad alcun numero razionale. In altri termini, non esiste nessun numero razionale il cui quadrato sia uguale a due.
La dimostrazione si basa sull'unicità della decomposizione dei numeri interi in fattori primi. Supponiamo che esista un numero razionale positivo $ m/n $ corrispondente al segmento OA. Per il Teorema di Pitagora, si dovrebbe allora avere $ (m/n)^2 = 2 $, o anche: $ n^2 = 2m^2 $.
Nella decomposizione in fattori primi di n, comparirà il fattore 2 con un certo esponente (eventualmente nullo). Dunque, il primo membro di $ n^2 = 2m^2 $ contiene il fattore 2 elevanto ad un esponente pari. Ragionando analogamente su m, si conclude che il secondo membro di $ n^2 = 2m^2 $ contiene il fattore 2 con un esponente dispari. Dunque $ n^2 = 2m^2 $ non può sussistere."
Allora... mi è chiaro il Teorema di Pitagora ed il Teorema fondamentale dell'aritmetica (beh... spero) ma non ho capito queste cose:
1) come si passa da $ (m/n)^2 = 2 $ a $ n^2 = 2m^2 $ ???
io avrei fatto prima in $ m^2/n^2 = 2 $ e poi $ m^2 = 2n^2 $ ... sbaglio?
2) perchè se scompongo in fattori primi m e n il fatto che abbiamo l'esponente del fattore 2 pari o dispari incida $ n^2 = 2m^2 $ ?
Grazie per aver letto tutto e per l'aiuto
gianpiero
piccola premessa:
mi chiamo Gianpiero, ho 35 anni, ai miei 18 anni mi sono iscritto in Ingegneria, ho superato Geometria, Fisica ma stentavo in Analisi Matematica... quindi dopo solo un anno di università ho abbandonato gli studi cominciando a fare qualche lavoretto.
Qualche anno dopo ho deciso di iscrivermi in Economia, riuscendo a laurearmi in 3 anni con lode e... soddisfazione per me superando Matematica con lode (programma impegnativo ma non così approfondito come Analisi Matematica, questo va detto!).
Ora, dopo più di 10 anni, vorrei riprendere gli studi e sto provando a fare un mio "corso di azzeramento" in Matematica così da capire cosa fare nel 2017...
Mi rendo conto di essere davvero a terra! Dopo la laurea e l'intensità degli studi oggi ho come il "cervello spento". Ho difficoltà a fare una semplice somma a mente!!!
Dopo essermi fatto la domanda: "Ma che mi sta succedendo?!?" ho pensato di dedicare qualche ora al giorno nello studio della Matematica e di Inglese.
Tutto questo per farvi capire il mio livello pari a zero ma la voglia di riscatto sull'argomento!
Nel 1999 per Analisi Matematica I comprai il libro "Analisi Matematica I" di Andrea Bacciotti e Fulvio Ricci, oltre qualche dispensa online sto cominciando da questo.
Quando si parla di numeri razionali gli autori li rappresentano facendo ricorso alla visualizzazione geometrica.
Considerano una retta, fissano due punti O ed U indicando un riferimento cartesiano.
O = 0 e U = 1
Riporto:
"Con semplici operazioni geometriche è possibile costruire multipli e sottomultipli del segmento OU e quindi assegnare ad ogni numero razionale q un punto P sulla retta. Si dice in tal caso che q è l'ascissa di P."
Poi parla della proprietà che esiste un numero razionale p tale che se prendiamo una qualunque coppia di razionali q ed s con q < s allora q < p < s bata prendere p = (q + s)/2. Quindi ci sono infiniti numeri razionali.
"Tuttavia non è vero che a tutti i punti della retta sia possibile attribuire un'ascissa razionale"
Qui i primi dubbi... che cosa è un' "ascissa razionale"... non mi è chiaro. Non riesco a ricondurla alla definizione che ho di ascissa nell'asse cartesiano.
Ora la dimostrazione (che non ho capito...):
"Il segmento OA di lunghezza uguale alla diagonale del quadrato di lato OU non corrisponde ad alcun numero razionale. In altri termini, non esiste nessun numero razionale il cui quadrato sia uguale a due.
La dimostrazione si basa sull'unicità della decomposizione dei numeri interi in fattori primi. Supponiamo che esista un numero razionale positivo $ m/n $ corrispondente al segmento OA. Per il Teorema di Pitagora, si dovrebbe allora avere $ (m/n)^2 = 2 $, o anche: $ n^2 = 2m^2 $.
Nella decomposizione in fattori primi di n, comparirà il fattore 2 con un certo esponente (eventualmente nullo). Dunque, il primo membro di $ n^2 = 2m^2 $ contiene il fattore 2 elevanto ad un esponente pari. Ragionando analogamente su m, si conclude che il secondo membro di $ n^2 = 2m^2 $ contiene il fattore 2 con un esponente dispari. Dunque $ n^2 = 2m^2 $ non può sussistere."
Allora... mi è chiaro il Teorema di Pitagora ed il Teorema fondamentale dell'aritmetica (beh... spero) ma non ho capito queste cose:
1) come si passa da $ (m/n)^2 = 2 $ a $ n^2 = 2m^2 $ ???
io avrei fatto prima in $ m^2/n^2 = 2 $ e poi $ m^2 = 2n^2 $ ... sbaglio?
2) perchè se scompongo in fattori primi m e n il fatto che abbiamo l'esponente del fattore 2 pari o dispari incida $ n^2 = 2m^2 $ ?
Grazie per aver letto tutto e per l'aiuto
gianpiero
Risposte
Forse una cosa l'ho capita...
visto che $ (m/n)^2 = 2 $ allora $ m/n = √2 $ ma la $ √2 $ è la costante di Pitagora che non può essere espressa con numeri razionali ma solo nei numeri reali... ha senso?
Il libro dice che per i numeri razionali non c'è un "continuo" geometrico.
visto che $ (m/n)^2 = 2 $ allora $ m/n = √2 $ ma la $ √2 $ è la costante di Pitagora che non può essere espressa con numeri razionali ma solo nei numeri reali... ha senso?
Il libro dice che per i numeri razionali non c'è un "continuo" geometrico.
ciao, benvenuto nel forum
[ot]la parte in cui ti presenti tagliala da qui e crea una nuova discussione nella sezione "presentazioni"
in questa discussione lascia solo il problema che ti poni[/ot]
Quello che noi vogliamo dimostrare è che $sqrt(2)$ non è un numero razionale. Essere un numero razionale significa che puó essere espresso come il rapporto di due interi primi tra di loro (cioè che non hanno divisori in comune).
In altre parole $x$ è razionale se $EE m,n in ZZ$ t.c. $(m,n)=1$(coprimi) e $m/n=x$
Noi vogliamo dimostrare che NON possono esistere m,n coprimi t.c. $m/n=sqrt(2)$ , cioè, equivalentemente, $(m/n)^2=2$
Procediamo per assurdo:
Siano $m,n in ZZ$ coprimi t.c. $(m/n)^2=2$.
ho $frac{m^2}{n^2}=2$ cioè $m^2=2*n^2$
noto che ho scritto m^2 = due per qualcosa, quindi m^2 è pari e quindi anche $m$ è pari
posso allora scrivere $m=2k$ e riparto dall'inizio:
$frac{m^2}{n^2}=2$ diventa $frac{(2k)^2}{n^2}=2$ cioè $frac{4k^2}{n^2}=2$ cioè $4k^2=2n^2$, quindi $n^2=2*k^2$
come prima, noto che ho scritto n^2 = due per qualcosa, quindi n^2 è pari e quindi anche $n$ è pari
in conclusione ho dimostrato che sia $m$ che $n$ sono pari, il che è assurdo poichè li avevo presi primi tra loro.
deduco quindi che non possono esistere n,m t.c. $n/m=sqrt(2)$, dunque $sqrt(2)$ è irrazionale
[ot]la parte in cui ti presenti tagliala da qui e crea una nuova discussione nella sezione "presentazioni"
in questa discussione lascia solo il problema che ti poni[/ot]
Quello che noi vogliamo dimostrare è che $sqrt(2)$ non è un numero razionale. Essere un numero razionale significa che puó essere espresso come il rapporto di due interi primi tra di loro (cioè che non hanno divisori in comune).
In altre parole $x$ è razionale se $EE m,n in ZZ$ t.c. $(m,n)=1$(coprimi) e $m/n=x$
Noi vogliamo dimostrare che NON possono esistere m,n coprimi t.c. $m/n=sqrt(2)$ , cioè, equivalentemente, $(m/n)^2=2$
Procediamo per assurdo:
Siano $m,n in ZZ$ coprimi t.c. $(m/n)^2=2$.
ho $frac{m^2}{n^2}=2$ cioè $m^2=2*n^2$
noto che ho scritto m^2 = due per qualcosa, quindi m^2 è pari e quindi anche $m$ è pari
posso allora scrivere $m=2k$ e riparto dall'inizio:
$frac{m^2}{n^2}=2$ diventa $frac{(2k)^2}{n^2}=2$ cioè $frac{4k^2}{n^2}=2$ cioè $4k^2=2n^2$, quindi $n^2=2*k^2$
come prima, noto che ho scritto n^2 = due per qualcosa, quindi n^2 è pari e quindi anche $n$ è pari
in conclusione ho dimostrato che sia $m$ che $n$ sono pari, il che è assurdo poichè li avevo presi primi tra loro.
deduco quindi che non possono esistere n,m t.c. $n/m=sqrt(2)$, dunque $sqrt(2)$ è irrazionale
"il che è assurdo poichè li avevo presi primi tra loro."
Ahhh ecco! Non possono essere pari perchè devono essere numeri primi... o almeno un potrebbe essere (2) ma tutti e due non possono esserlo!
Chiarissimo adesso!
Grazie!
p.s. che vuol dire "coprimi"?
Ahhh ecco! Non possono essere pari perchè devono essere numeri primi... o almeno un potrebbe essere (2) ma tutti e due non possono esserlo!
Chiarissimo adesso!
Grazie!
p.s. che vuol dire "coprimi"?
Due numeri naturali si dicono coprìmi, cioè primi tra loro, se come massimo comun divisore hanno solamente $1$.
Non possono essere entrambi pari, perché avrebbero il 2 come divisore in comune... ma uno dei due può benissimo esserlo. Ad esempio $8/21$ va bene
Grazie a tutti!
Chiarissimo adesso
gianpiero
Chiarissimo adesso
gianpiero
Prego
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