Dimostrazione campo conservativo con gauss-green

[alessandro.roma.1654]

ciao ragazzi avevo fatto un post simile nei giorni passati e le risposte che mi hanno scritto non sono state esaustive. vi riporto il teorema e la dimostrazione , vorrei capire come impostare la dimostrazione e se come l ho fatto io è giusto perche la mia prof ha trattato questo teorema in un modo molto ma molto informale facendoci capire ben poco per come si dimostra

Teorema

sia $F=(F1,F2)$ un campo vettoriale definito $F:D in RR^2->RR^2$ con $F in C^(1)(D)$ supponiamo che F è irrotazionale e D e un insieme semplicemente connesso allora F è conservativo

Dim

usando le formule di gauss green abbiamo che

$\int\int_(D) ((delF2)/(delx)-(delF1)/(dely))=0$ per ipotesi di irrotaz. la funzione integranda è nulla

per i la formula di gauss green dobbiamo mostrare che $\int_(del^(+)(D))F=0$

per Hp D è un insieme semplicemente connesso , per definizione per ogni curva chiusa,semplice e regolare interamente contenuta in D è la frontiera di un dominio semplicemente connesso A contenuto in D

quindi basta mostrare che per ogni curva chiusa $\int_(\gamma) F=0 $ allora F è conservativo. per quanto abbiamo detto

per ogni curva chiusa contenuta in D ,ogni curva e la frontiera di un dominio semplicemente connesso cioè

$\int_(\gamma=del^(+)A) F =0$ quindi implica che $F$ è conservativo e presa qualunque curva chiusa precisamente la frontiera di D risulta che

$\int_(del^(+)(D))F=0$

[Papapicco]

Non vorrei fare il guastafeste ma il rotore di un campo $ F(x,y,z) $ è uguale, per definizione al prodotto vettoriale tra gradiente e campo stesso come sicuramente saprai, ma questo è possibile solo in 3 dimensioni poichè:

$rot(F)=\gradxxF=|(i,j,k),(\partial/(\partialx),\partial/(\partialy),\partial/(\partialz)),(f1,f2,f3)|$ ,$F=(f1,f2,f3)$

Quindi le ipotesi iniziali che fai non dovrebbero essere valide!

[dissonance]

@alessandro: Grosso modo va bene ora, anche se ti esprimi un po' male.

@Papapicco: Quando un campo vettoriale $F$ è bidimensionale, si intende per "rotore" lo scalare
\[
\partial_yF_x - \partial_x F_y.\]
Questa è la componente $z$ del campo vettoriale tridimensionale
\[
F_x\hat{e}_x+F_y\hat{e}_y + 0\hat{e}_z.\]

[Papapicco]

"dissonance":

@Papapicco: Quando un campo vettoriale $F$ è bidimensionale, si intende per "rotore" lo scalare
\[
\partial_yF_x - \partial_x F_y.\]
Questa è la componente $z$ del campo vettoriale tridimensionale
\[
F_x\hat{e}_x+F_y\hat{e}_y + 0\hat{e}_z.\]

Non sono molto d'accordo con quello che hai scritto, però in effetti più che una lacuna teorica era una lacuna di forma quella di alessandro

[alessandro.roma.1654]

ok vi ringrazio per la pazienza e disponibilità un ultima domanda per quanto riguarda la dimostrazione. Lo so, sembra una dimostrazione un po contorta per come l ho scritta,potreste darmi una mano ??. Quindi io parto dal fatto che

$ \int\int_(D) ((delF2)/(delx)-(delF1)/(dely))=0 $ per definizione di rotore

poi enuncio la condizione per cui F sia conservativo ,cioè che la circuitazione su ogni curva chiusa è nulla.

adesso devo usare la formula di gauss green e dire che $ \int_(del^(+)(D))F=0 $. Percio essendo D un insieme semplicemente connesso ,per ogni curva chiusa contenuta in D essa è la frontiera di un insieme sempl. conn. e percio su ogni curva chiusa risulta

$ \int_(\gamma) F=0 $

adesso il fatto che su una qualunque curva chiusa integrale di linea è nullo in un insieme sempli. connesso ,si dimostra che per ipotesi ammette un potenziale $U=\int_(\gamma) F $ in quanto il dominio è sempli.conn ??

[Papapicco]

Allora, se un campo è conservativo esso ammette infiniti potenziali scritti come funzioni $f(x,y,z):D->RR$ tali per cui

$\gradf=F(x,y,z) AAx,y,zinD$

Inoltre, poichè F è conservativo, indipendentemente dalla natura di $D$, l'integrale di linea lungo una curva
$\gamma:[a,b]->RR^2 , a,binRR$ semplice e regolare(anche a tratti), vale

$\int_\gamma F*ds = f(\gamma(b))-f(\gamma(a))$

Cioè esso è uguale alla differenza dei valori che il potenziale $f$ del campo assume nei punti finale ed inizale della curva.

Ovviamente se la curva è chiusa puoi dire che $\gamma(a)=\gamma(b)$ e quindi $f(\gamma(b))=f(\gamma(a))$, ovvero la circuitazione è nulla

[alessandro.roma.1654]

papapicco quello che hai scritto tu non è giusto ma giustissimo pero quello che voglio farti notare io è che:

tu all inizio hai scritto che se un campo è conservativo allora ammette potenziale in questo caso tu metti nell ' ipotesi che il campo è conservativo pero nella dimostrazione che devo fare io devo dimostrare che il campo è conservativo quindi non lo assumo come ipotesi questa cosa percio come potrei scrivere ?? lo so sono questioni delicate tra ipotesi e tesi che spesso se non si fa attenzioni si fa solo una grande confusione

cioè come dimostro che integrale su una qualsiasi curva chiusa è nullo e in piu in particolare sto dicendo che F è conservativo ... qualè l'ipotesi che devo considerare affinche sia conservativo un campo ???