Dimostrazione cambiamento variabili integrazione in integrali doppi
Buonasera a tutti !
Oggi la mia domanda riguarda una parte della dimostrazione del cambiamento di variabili di integrazione negli integrali multipli trattata nel Pagani-Salsa come da pagine seguenti.
In particolare non riesco a capire come ricavare la 1.24 (quella riquadrata in blu). Perché $dxdy~~area(T(Q))~~area(L(Q))$ ?
Non mi è chiara l'approssimazione utilizzata e da dove esca, pertanto chiedo gentilmente a voi di illuminarmi al riguardo, ringraziando sin da ora quanti risponderanno.
E, come sempre,
saluti
Oggi la mia domanda riguarda una parte della dimostrazione del cambiamento di variabili di integrazione negli integrali multipli trattata nel Pagani-Salsa come da pagine seguenti.
In particolare non riesco a capire come ricavare la 1.24 (quella riquadrata in blu). Perché $dxdy~~area(T(Q))~~area(L(Q))$ ?
Non mi è chiara l'approssimazione utilizzata e da dove esca, pertanto chiedo gentilmente a voi di illuminarmi al riguardo, ringraziando sin da ora quanti risponderanno.
E, come sempre,
saluti
Risposte
E' il caso bidimensionale dell'approssimazione di una funzione di una variabile reale col suo differenziale, ovvero:
$f(x+\Delta x ) \approx f(x) + f'(x) \Delta x $.
Se guardi la trasformazione affine nella 1.23 vedi che usa una scrittura simile al differenziale del caso unidimensionale.
Solo che avendo una funzione a 2 variabili bisogna tenere conto di 2 differenziali (detto in maniera molto informale).
Per schiarirti le idee prova a fare i calcoli con un esempio concreto: ad esempio con la conversione da coordinate polari a cartesiane in un punto qualsiasi.
$x = \rho cos \phi$
$y = \rho sin \phi$
nel punto $ (\rho, \phi) = (1, \pi/4)$
$f(x+\Delta x ) \approx f(x) + f'(x) \Delta x $.
Se guardi la trasformazione affine nella 1.23 vedi che usa una scrittura simile al differenziale del caso unidimensionale.
Solo che avendo una funzione a 2 variabili bisogna tenere conto di 2 differenziali (detto in maniera molto informale).
Per schiarirti le idee prova a fare i calcoli con un esempio concreto: ad esempio con la conversione da coordinate polari a cartesiane in un punto qualsiasi.
$x = \rho cos \phi$
$y = \rho sin \phi$
nel punto $ (\rho, \phi) = (1, \pi/4)$
Ciao @Quinzio !
Innanzitutto grazie per la risposta.
In secondo luogo ho ancora dei dubbi. In particolare non capisco il passaggio $dxdy~~area(T(Q))$ cioè perché l'area del rettangolo infinitesimo $dxdy$ può essere approssimata a quella del parallelogramma dato da $T(Q)$.
Inoltre, rileggendo la dimostrazione, mi è anche caduto l'occhio su un'altra cosa non perfettamente chiara e cioè, nelle prime due righe di pagina 344 scrive che
Non avrebbe dovuto scrivere $...f(x,y)$ si trasforma in$...f(varphi(u,v),psi(u,v))$ ?
Innanzitutto grazie per la risposta.
In secondo luogo ho ancora dei dubbi. In particolare non capisco il passaggio $dxdy~~area(T(Q))$ cioè perché l'area del rettangolo infinitesimo $dxdy$ può essere approssimata a quella del parallelogramma dato da $T(Q)$.
Inoltre, rileggendo la dimostrazione, mi è anche caduto l'occhio su un'altra cosa non perfettamente chiara e cioè, nelle prime due righe di pagina 344 scrive che
...f(x,y) si trasforma in...f(x(u,v),y(u,v))
Non avrebbe dovuto scrivere $...f(x,y)$ si trasforma in$...f(varphi(u,v),psi(u,v))$ ?
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