Dimostrazione Bolzano-Weierstrass

[Plepp]

Salve ragazzi.
A lezione abbiamo dimostrato Bolzano-Weierstrass in un modo semplice e veloce - che, d'altra parte, ci è costato tutto un filone teorico sul $\lim \text{sup}$ e il $\lim\text{inf}$

Si parte dal considerare una successione - di reali - limitata $\{a_n\}$, che in quanto tale possiede $\lim\text{sup}$ finito, diciamo eguale ad $L$. L'idea è quella di costruire un'estratta che converga proprio a questo $L$.
Per una caratterizzazione del $\lim\text{sup}$, si ha che
\[\forall \varepsilon>0,\ \forall n\in\mathbb{N},\ \exists k\in\mathbb{N},\ k\ge n:\ L-\varepsilon Utilizzando la $(\star)$, si costruisce una sottosuccessione $\{a_{k_n}\}$ al modo seguente:
• per $\epsilon=1$, esisterà $k_1$ tale che $L-1 • per $\epsilon=1/2$, esisterà $k_2$ tale che $L-1/2 (...)
• per $\epsilon=1/n$, esisterà $k_n$ tale che $L-1/n Evidentemente, la successione ottenuta converge, come volevamo, ad $L$.

Quel che mi chiedo è se non fosse anche necessario mostrare che (o mostrare che si può far in modo che) $k_n$ sia strettamente crescente, come vuole la definizione di successione estratta Insomma, da quello che ho appena scritto non si deduce mica (o quantomeno non lo deduco io ) che $k_{i}
EDIT: pensandoci bene, anche la caratterizzazione $(\star)$ non corrisponde a quella che ha dimostrato in precedenza il prof:

$L\in\mathbb{R}$ è il massimo limite di $a_n$ se e solo se
1) $\forall \epsilon >0$, $\exists\bar{n}$ tale che $\forall k\ge \bar{n}$, $a_k 2) $\forall \epsilon>0$, $\forall n\in\mathbb{N}$, $\exists k\ge n$ tale che $a_k>L-\epsilon$.

Da questo posso dedurre che fissato $\epsilon>0$,
\[ \forall n\ge\bar{n},\ \exists k\ge n(\ge\bar{n})\ :\ L-\varepsilon che non è la $(\star)$ scritto su!! Mah...

[Plepp]

Mi pare di aver risolto, ma la scarsa precisione del prof. mi lascia sbigottito

Utilizzando la $(\star\star)$ posso procedere così:
• fisso $\epsilon=1$, e di conseguenza individuo un $\bar{n}_1$ tale per cui valga la (1). In corrispondenza di $n=\bar{n}_1$, esisterà $k_1\ge n= \bar{n}_1$ tale che $L-1 • fisso $\epsilon=1/2$, e quindi individuo un $\bar{n}_2$ che verifica la (1). In corrispondenza di $n=\max\{k_1,\bar{n}_2\}+1>k_1,\bar{n}_2$, esisterà $k_2\ge n$ tale che $L-1/2 (...)
• fisso $\epsilon=1/i$, e quindi individuo un $\bar{n}_i$ che verifica la (1). In corrispondenza di $n=\max\{k_{i-1},\bar{n}_i\}+1>k_{i-1},\bar{n}_i$, esisterà $k_i\ge n$ tale che $L-1/i
Grazie a quel "$+1$" che ho aggiunto al $\max$ ho ottenuto la stretta monotonia che volevo:
\[k_1 Che ne pensate?

EDIT: risolto anche per la $(\star)$, è corretta: errore mio