Dimostrazione binomio di newton per induzione
Salve a tutti... Non riesco a capire la spiegazione del binomio di newton qui sotto postata
prima parte e seconda parte.
potete aiutarmi mostrandomi e spiegandomi i passaggi omessi e non ?? Grazie mille per l'aiuto
prima parte e seconda parte.
potete aiutarmi mostrandomi e spiegandomi i passaggi omessi e non ?? Grazie mille per l'aiuto
Risposte
Si vuole dimostrare (per induzione) che \(\displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \) si ha \[
\left(a+b\right)^n= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} \qquad \qquad (*)\]
Passo base: \(\displaystyle n=1 \).
La \(\displaystyle (*) \) diventa \(\displaystyle \left(a+b\right)^1= \sum_{k=0}^{1} \binom{1}{k}a^{1-k} b^{k} \), che è equivalente a \(\displaystyle a+b = \binom{1}{0}a + \binom{1}{1}b \).
Dato che \(\displaystyle \binom{1}{0}=\binom{1}{1}=1 \), quell'uguaglianza è vera.
Fin qui ci sei?
Se sì, prova ora ad impostare il passo induttivo
\left(a+b\right)^n= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} \qquad \qquad (*)\]
Passo base: \(\displaystyle n=1 \).
La \(\displaystyle (*) \) diventa \(\displaystyle \left(a+b\right)^1= \sum_{k=0}^{1} \binom{1}{k}a^{1-k} b^{k} \), che è equivalente a \(\displaystyle a+b = \binom{1}{0}a + \binom{1}{1}b \).
Dato che \(\displaystyle \binom{1}{0}=\binom{1}{1}=1 \), quell'uguaglianza è vera.
Fin qui ci sei?
Se sì, prova ora ad impostare il passo induttivo
questa è chiarissima....è il passo successivo che nn riesco ad impostare e a dimostrare... PS: grazie della risposta
Ma se era chiarissima, perchè hai scritto di spiegarti anche quei passaggi? Mah...
Beh, se vuoi un aiuto, scrivi l'impostazione del passo induttivo.
Beh, se vuoi un aiuto, scrivi l'impostazione del passo induttivo.
Scusa ho dimenticato di scriverlo che la dimostrazione per n=1 era chiara...
Per quanto riguarda l'impostazione del passo induttivo dovrei moltiplicare entrambi i membri per ( a+b) ma è proprio questo quello che nn riesco a fare ....
Per quanto riguarda l'impostazione del passo induttivo dovrei moltiplicare entrambi i membri per ( a+b) ma è proprio questo quello che nn riesco a fare ....
Mi scrivi almeno qual è l'ipotesi induttiva e qual è la tesi induttiva?
allora se non erro dovrebbero essere queste :
HP : \[
\left(a+b\right)^n= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} \qquad \qquad \]
TH: \[
\left(a+b\right)^{n+1}= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}a^{n-k+1} b^{k} \qquad \qquad \]
HP : \[
\left(a+b\right)^n= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} \qquad \qquad \]
TH: \[
\left(a+b\right)^{n+1}= \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}a^{n-k+1} b^{k} \qquad \qquad \]
Benissimo. Partiamo dall'ipotesi e moltiplichiamo entrambi i membri per $(a+b)$:
\(\displaystyle \left(a+b\right)^{n+1}= (a+b) \cdot \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} \)
Ora, saprai senz'altro che $(a+b)* x = a*x +b*x$.
Quindi \[(a+b) \cdot \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} = a \cdot \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k}+ b \cdot \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} \]
Il primo addendo diventa
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k+1}b^{k}= \binom{n}{0} a^{n+1}b^0 + \binom{n}{1} a^{n}b^1 + \binom{n}{2} a^{n-1}b^2 + \cdots + \binom{n}{n-1}a^2 b^{n-1}+ \binom{n}{n}a^1 b^n \)
Il secondo addendo diventa
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k+1}= \binom{n}{0} a^{n}b^1 + \binom{n}{1} a^{n-1}b^2 + \binom{n}{2} a^{n-2}b^3 + \cdots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n}+ \binom{n}{n}a^0 b^{n+1} \)
Fin qui ci sei? Riesci a "vedere" la soluzione?
\(\displaystyle \left(a+b\right)^{n+1}= (a+b) \cdot \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} \)
Ora, saprai senz'altro che $(a+b)* x = a*x +b*x$.
Quindi \[(a+b) \cdot \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} = a \cdot \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k}+ b \cdot \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k} \]
Il primo addendo diventa
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k+1}b^{k}= \binom{n}{0} a^{n+1}b^0 + \binom{n}{1} a^{n}b^1 + \binom{n}{2} a^{n-1}b^2 + \cdots + \binom{n}{n-1}a^2 b^{n-1}+ \binom{n}{n}a^1 b^n \)
Il secondo addendo diventa
\(\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k+1}= \binom{n}{0} a^{n}b^1 + \binom{n}{1} a^{n-1}b^2 + \binom{n}{2} a^{n-2}b^3 + \cdots + \binom{n}{n-1}a^1 b^{n}+ \binom{n}{n}a^0 b^{n+1} \)
Fin qui ci sei? Riesci a "vedere" la soluzione?
Si fin qui ci sono... ma la soluzione nn riesco a "vederla" 
Facciamo la somma di questi due ultimi risultati: notiamo che possiamo fare dei raccoglimenti a fattor comune.
Ci sono infatti, oltre a un unico addendo con $a^(n+1) b^0$ e un unico addendo con $a^0 b^(n+1)$, due addendi con $a^n b^1$, due addendi con $a^(n-1) b^2$,..., due addendi con $a^1 b^n$:
\(\displaystyle a^{n+1} +\biggl\{\left[\binom{n}{1}+\binom{n}{0} \right] a^n b^1 + \left[\binom{n}{2}+\binom{n}{1} \right] a^{n-1} b^2+ \cdots +\left[\binom{n}{n}+\binom{n}{n-1} \right] a^1 b^n \biggr\}+ b^{n+1}\)
Tutto ok? Ora prova a scrivere come sommatoria quello che ho messo dentro le parentesi graffe.
Ci sono infatti, oltre a un unico addendo con $a^(n+1) b^0$ e un unico addendo con $a^0 b^(n+1)$, due addendi con $a^n b^1$, due addendi con $a^(n-1) b^2$,..., due addendi con $a^1 b^n$:
\(\displaystyle a^{n+1} +\biggl\{\left[\binom{n}{1}+\binom{n}{0} \right] a^n b^1 + \left[\binom{n}{2}+\binom{n}{1} \right] a^{n-1} b^2+ \cdots +\left[\binom{n}{n}+\binom{n}{n-1} \right] a^1 b^n \biggr\}+ b^{n+1}\)
Tutto ok? Ora prova a scrivere come sommatoria quello che ho messo dentro le parentesi graffe.
\[
\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k+1} b^{k} \qquad \qquad \]
se non sbaglio è così....
\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k+1} b^{k} \qquad \qquad \]
se non sbaglio è così....
No. Io direi piuttosto\(\displaystyle \sum_{k=1}^n \biggl[ \binom{n}{k} +\binom{n}{k-1}\biggr] a^{n-k+1} b^k \)
ok quindi
\(\displaystyle[ a^{n+1}+ b^{n+1} ]+\displaystyle \sum_{k=1}^n \biggl[ \binom{n}{k} +\binom{n}{k-1}\biggr] a^{n-k+1} b^k \)...... quello che c'è dopo la sommatoria è uguale alla tesi e ci siamo ma quello prima no giusto??
\(\displaystyle[ a^{n+1}+ b^{n+1} ]+\displaystyle \sum_{k=1}^n \biggl[ \binom{n}{k} +\binom{n}{k-1}\biggr] a^{n-k+1} b^k \)...... quello che c'è dopo la sommatoria è uguale alla tesi e ci siamo ma quello prima no giusto??
Ti rigiro la domanda: prova ad "aggiustare" il tutto affinchè \[a^{n+1} + b^{n+1}+ \sum_{k=1}^n \biggl[ \binom{n}{k} +\binom{n}{k-1}\biggr] a^{n-k+1} b^k \]diventi\[\sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k}a^{n-k+1} b^{k} \qquad \qquad \]
\[\binom{n}{k} +\binom{n}{k-1}= \binom{n+1}{k}\]
e su questo ci siamo però poi sul resto no... nn riesco a capire come faccio ad unire anche
\[a^{n+1} + b^{n+1}\]
e su questo ci siamo però poi sul resto no... nn riesco a capire come faccio ad unire anche
\[a^{n+1} + b^{n+1}\]
Guarda gli indici delle due sommatorie: la prima sommatoria ha $k$ da $1$ a $n$.
La seconda ha $k$ da $0 $ a $n+1$. Quindi ha gli indici $k=0$ e $k=n+1$ in più.
Vuoi vedere che corrispondono a $a^(n+1)$ e $b^(n+1)$?
Se nella seconda sommatoria prendi l'addendo con $k=0$ cosa ottieni?
Ottieni \(\displaystyle\binom{n+1}{0} a^{n+1-0} b^{0}= 1 \cdot a^{n+1}\cdot 1= a^{n+1}\).
Invece l'addendo con $k=n+1$ sarà proprio $b^{n+1}$.
La seconda ha $k$ da $0 $ a $n+1$. Quindi ha gli indici $k=0$ e $k=n+1$ in più.
Vuoi vedere che corrispondono a $a^(n+1)$ e $b^(n+1)$?
Se nella seconda sommatoria prendi l'addendo con $k=0$ cosa ottieni?
Ottieni \(\displaystyle\binom{n+1}{0} a^{n+1-0} b^{0}= 1 \cdot a^{n+1}\cdot 1= a^{n+1}\).
Invece l'addendo con $k=n+1$ sarà proprio $b^{n+1}$.
Grazie mille, adesso ho capito 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo