Dimostrazione banale

[Дэвид1]

Buongiorno, sto imparando a fare le prime dimostrazioni. Ho il dubbio di avere ignorato senza volere qualcosa di importante. Riporto il testo:

Si mostri che $\sqrt{p}$ con $p$ non quadrato perfetto, ha soluzione in $A\setminus\mathbb{Q}$.

Mi sta chiedendo una cosina leggermente più generale della dimostrazione dell'irrazionalità di radice di due.
In pratica va dimostrato:
-(1): $x\in\mathbb{A\setminus\mathbb{Q}}$. Dimostro prima che $x$ è algebrico (2) e poi che non è razionale (3).
-(2): Immediato, essendo $x$ soluzione di $x^2-p=0$.
-(3): Se per assurdo lo fosse, allora avremmo che $p=x^2=\frac{m}{m}$, con $n,m \in\mathbb{Z}$, che consideriamo ridotta ai minimi termini (una non ridotta ai minimi termini le sarebbe equivalente, e non perdiamo generalità), cioè $m$ e $n$ sono co-primi.
Se però la divisione $\frac{m}{n}$ da come risultato un numero, allora quel numero deve necessariamente essere in comune tra i due. Allora $m$ e $n$ non sono co-primi, che è una contraddizione.

Che cosa ho sbagliato? Generalmente quando si leggono in giro dimostrazioni della irrazionalità di $\sqrt{2}$, si trovano cose più elaborate, o non di questa forma. Che cosa non sto considerando?
Grazie in anticipo.

[gugo82]

No, vabbé, è tutto giusto... L'idea è che si ha $m^2=pn^2$ se e solo se $m$ è multiplo di $p$, il che da parte sua implica $ph^2=n^2$ ovvero che $n$ è multiplo di $p$; assurdo.