Dimostrazione asintoti obliqui
Vorrei riuscire a dimostrare la seguente affermazione:
"Se $f(x)/x \rightarrow a \in \mathbb{R} $ per $x\rightarrow +\infty$ e $f(x) -ax \rightarrow b \in \mathbb{R}$ per $x \rightarrow + \infty$ allora
$f(x) -ax -b \rightarrow 0$ per $x \rightarrow +infty$ (ovvero $f(x) = ax + b + o(1)$ per $x \rightarrow +\infty$)"
Solitamente nei libri viene riportata la dimostrazione dell'affermazione inversa (per giustificare anche il metodo di calcolo dei coefficienti per l'asintoto), però le due affermazioni sono equivalenti. Vorrei riuscire quindi a "tornare indietro" (cioè dimostrare l'affermazione che ho scritto). Non capisco come e dove sfruttare la prima condizione (che mi dice che $f(x)$ e $x$ hanno lo stesso ordine) per arrivare al risultato. Qualcuno potrebbe darmi un aiuto?
"Se $f(x)/x \rightarrow a \in \mathbb{R} $ per $x\rightarrow +\infty$ e $f(x) -ax \rightarrow b \in \mathbb{R}$ per $x \rightarrow + \infty$ allora
$f(x) -ax -b \rightarrow 0$ per $x \rightarrow +infty$ (ovvero $f(x) = ax + b + o(1)$ per $x \rightarrow +\infty$)"
Solitamente nei libri viene riportata la dimostrazione dell'affermazione inversa (per giustificare anche il metodo di calcolo dei coefficienti per l'asintoto), però le due affermazioni sono equivalenti. Vorrei riuscire quindi a "tornare indietro" (cioè dimostrare l'affermazione che ho scritto). Non capisco come e dove sfruttare la prima condizione (che mi dice che $f(x)$ e $x$ hanno lo stesso ordine) per arrivare al risultato. Qualcuno potrebbe darmi un aiuto?
Risposte
"Pigreco2016":
$f(x) -ax \rightarrow b \in \mathbb{R}$ per $x \rightarrow + \infty$
Ragiona su questo.
Da quello si deduce che $f(x) -ax- b \rightarrow 0$ per $x\rightarrow +\infty$ e qua mi blocco. L'altra ipotesi non so come sfruttarla.
Che te ne importa? La tesi l'hai dimostrata.
Effettivamente potrebbe essere così e basta. Se $f(x)/x \rightarrow a $
non fosse verificata, allora la nostra ipotesi sarebbe sarebbe falsa e l'implicazione da me scritta sarebbe vera. Concordi?
non fosse verificata, allora la nostra ipotesi sarebbe sarebbe falsa e l'implicazione da me scritta sarebbe vera. Concordi?
Non usare un'ipotesi non è un crimine, non c'è bisogno che ti inventi cose strane per far sembrare che la stia usando.
Sono abituato a sfruttare tutte le ipotesi di solito. Ora però sarei curioso di vedere un esempio in cui abbiamo una $f(x)$ con $f(x) -ax-b \rightarrow 0$ e $f(x)/x$ non tendente ad $a$ ed $f(x)$ ha come asintoto obliquo $y=ab+b$; poi anche un esempio con una $f(x)$ rispettante le stesse condizioni che però non ammette asintoto obliquo
Se $f(x)-ax-b->0$ per $x->+\infty$, allora $f(x)/x=(f(x)-ax-b)/x+(ax+b)/x=(f(x)-ax-b)/x+b/x+a->a$ per $x->+\infty$, quindi non esistono controesempi del tipo che hai detto.
In sostanza, il concetto di asintoto vuol dire che una funzione si avvicina arbitrariamente tanto a una retta (non verticale), per formalizzare in termini rigorosi questa idea si può (e in effetti è quello che si fa) definire asintoto $+\infty$ per $f$ una retta $y(x)=ax+b$ tale che $lim_{x->+\infty}f(x)-ax-b=0$.
Ora però, la nostra definizione l'abbiamo data, ma se abbiamo una funzione, come dobbiamo metterci a trovare un asintoto? Provando un po' di rette a caso sperando di beccare quella giusta? Beh, è ovvio che non va fatto così.
Allora viene in aiuto il teorema:
In sostanza, il concetto di asintoto vuol dire che una funzione si avvicina arbitrariamente tanto a una retta (non verticale), per formalizzare in termini rigorosi questa idea si può (e in effetti è quello che si fa) definire asintoto $+\infty$ per $f$ una retta $y(x)=ax+b$ tale che $lim_{x->+\infty}f(x)-ax-b=0$.
Ora però, la nostra definizione l'abbiamo data, ma se abbiamo una funzione, come dobbiamo metterci a trovare un asintoto? Provando un po' di rette a caso sperando di beccare quella giusta? Beh, è ovvio che non va fatto così.
Allora viene in aiuto il teorema:
Sia $f:RR->RR$, si ha che la retta y=ax+b è asintoto a $+\infty$ per $f$ <=>$lim_{x->+\infty}f(x)/x=a$ e $lim_{x->+\infty}f(x)=b$.Una direzione ($=>$) è quella che dici di avere già presente, l'altra ($<=$) è quella di cui abbiamo parlato. In ultima analisi la condizione a sinistra nel va intesa come il modo "teorico" di vedere il concetto di asintoto, mentre quella a destra sarebbe il modo "concreto" di vedere gli asintoti.
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