Dimostrazione ANALISI

[Manuel1927]

Ciao a tutti, sono nuovo nel forum e, anche se vi seguo da tempo, ho deciso di iscrivermi perché ho un problema con una dimostrazione di Analisi..

L'esercizio è il seguente:

Data f:[0,1]-->[0,1] continua, dimostrare che esiste ε∈ [0,1] tale che f(ε)=ε.

Io ho già svolto, con l'aiuto del prof, un pezzo di dimostrazione ma non so andare più avanti..questo è quello che abbiamo fatto:

Supponiamo che f(0) diverso da 0 e f(1) diverso da 1
f(x)=x-f(x) con x∈ [0,1]
f(ε)=0

Il prof. mi ha detto di continuare la dimostrazione con il teorema degli zeri ma non so proprio come proseguire..
Confido in voi, grazie mille per la disponibilità

[axpgn]

$f(epsilon)=epsilon\ ->\ 0=epsilon-f(epsilon)$ ... ciò equivale a ${(g(x)=x-f(x)),(g(epsilon)=0):}$ ...

Ora noi possiamo notare che $g(0)<0$ e $g(1)>0$ quindi ...

[Manuel1927]

Per essere dimostrato il teorema degli zeri devi essere che g(0) x g(1)<0 vero?

[axpgn]

Deve essere così ...

[Manuel1927]

Però non so come concludere l'esercizio

[otta96]

Intanto cosa puoi concludere con il teorema degli zeri?

[Manuel1927]

Che, dato che sono soddisfatte le due condizioni (continuità della funzione e prodotto delle funzioni minore di zero), abbiamo che ε∈ [0,1] tale che f(ε)=0.

[axpgn]

Non proprio ... più precisamente dal teorema degli zeri deduci che esiste un $alpha$ compreso tra zero e uno tale che $g(alpha)=0$; ne consegue che $g(alpha)=0\ ->\ alpha-f(alpha)=0\ ->\ f(alpha)=alpha$, che è quello che volevi dimostrare ...

[Manuel1927]

Grazie mille, per la pazienza e per la disponibilità!!