[DIMOSTRAZIONE - AN MAT 1] Teorema degli zeri
Salve,
sto preparando l'orale di analisi e studiando il teorema degli zeri, ho provato una mia dimostrazione (quanto meno intuitiva) dello stesso e tutt'ora penso sia corretta / valida, ma il fatto che tutti i siti che ho controllato non ne fanno menzione, mi preoccupa un po'. Quindi ho deciso di chiedere direttamente a chi ne sa più di me, potreste dirmi se è corretta?
Grazie.
Come Hp ho che:
1) f è continua in [a,b]
2) $ f(a)*f(b) < 0 $
Devo dimostrare che:
Se 1 e 2 sono verificate ho => $ \exists x_0 in [a,b] | f(x_0)=0 $
(suppongo f(a) > 0 > f(b), ovviamente vale anche al contrario )
Ammettiamo per assurdo che il teorema sia sbagliato e che quindi per 1 e 2 vere $ \forall x_0 in [a,b]$ si ha che $ f(x_0) != 0 $
Per dimostrarlo quindi utilizzo (1) {f è continua in $ x_0 <=> lim_(x -> (x_0)^-) f(x) = lim_(x -> (x_0)^+) f(x) $ }
E dico che se il teorema è sbagliato allora è vero che $\exists f(x-> (x_0)^-) >0$ e $\exists f(x-> (x_0)^+) <0$, ma questo signfica che in $x_0$ la funzione avrebbe un salto dato da $s = f((x_0)^-) - f((x_0)^+)$ e che perciò non sarebbe continua in $x_0$ andando contro la prima delle mie ipotesi (f continua in tutto [a,b]).
Quindi il teorema è dimostrato per assurdo.
Va bene?
[Probabilmente farò anche altri post del genere]
sto preparando l'orale di analisi e studiando il teorema degli zeri, ho provato una mia dimostrazione (quanto meno intuitiva) dello stesso e tutt'ora penso sia corretta / valida, ma il fatto che tutti i siti che ho controllato non ne fanno menzione, mi preoccupa un po'. Quindi ho deciso di chiedere direttamente a chi ne sa più di me, potreste dirmi se è corretta?
Grazie.
Come Hp ho che:
1) f è continua in [a,b]
2) $ f(a)*f(b) < 0 $
Devo dimostrare che:
Se 1 e 2 sono verificate ho => $ \exists x_0 in [a,b] | f(x_0)=0 $
(suppongo f(a) > 0 > f(b), ovviamente vale anche al contrario )
Ammettiamo per assurdo che il teorema sia sbagliato e che quindi per 1 e 2 vere $ \forall x_0 in [a,b]$ si ha che $ f(x_0) != 0 $
Per dimostrarlo quindi utilizzo (1) {f è continua in $ x_0 <=> lim_(x -> (x_0)^-) f(x) = lim_(x -> (x_0)^+) f(x) $ }
E dico che se il teorema è sbagliato allora è vero che $\exists f(x-> (x_0)^-) >0$ e $\exists f(x-> (x_0)^+) <0$, ma questo signfica che in $x_0$ la funzione avrebbe un salto dato da $s = f((x_0)^-) - f((x_0)^+)$ e che perciò non sarebbe continua in $x_0$ andando contro la prima delle mie ipotesi (f continua in tutto [a,b]).
Quindi il teorema è dimostrato per assurdo.
Va bene?
[Probabilmente farò anche altri post del genere]
Risposte
Se non ho capito male stai supponendo che la funzione tenda a $0$ in $x_0$, e chi te lo dice? Questo teorema si dimostra con il metodo della bisezione.
"renat_":
Se non ho capito male stai supponendo che la funzione tenda a $0$ in $x_0$, e chi te lo dice? Questo teorema si dimostra con il metodo della bisezione.
Io so che il teorema si dimostra con la bisezione, ma voglio dire che intuitivamente se una funzione continua in [a,b] prima è positiva poi è negativa ci deve essere un punto $x_0$ in cui taglia l'asse. E questo è (almeno intuitivamente) ovvio dal fatto che è continua in tutto l'intervallo!
Negare ciò significa dire che esiste un punto qualsiasi (lo chiamo $x_0$ per semplicità) in cui avviene che $ f((x_0)^-) >0 $ e $f((x_0)^+) <0 $ o per meglio dire, che tutti i punti in [a, b] sono tali che f([a, b]) sia o positiva o negativa e mai uguale a 0.
O sbaglio?
[Scusa se sono insistente, ma vorrei capire dov'è il problema nel ragionamento]
[PPS:
"renat_":la continuità lol]
Se non ho capito male stai supponendo che la funzione tenda a $0$ in $x_0$, e chi te lo dice?
"matthewcrn7":
E dico che se il teorema è sbagliato allora è vero che $\exists f(x-> (x_0)^-) >0$ e $\exists f(x-> (x_0)^+) <0$,
Come a fai a dirlo se non supponi che $f(x->x_0)->0$?
Far le cose da sè è molto produttivo, sono dell'idea che impari di più a cercare di impostare te un ragionamento che imparare a bacchetta un teorema preso da un libro.
Tuttavia, ogni passaggio va spiegato opportunatamente, non puoi fare una dimostrazione intuitiva. Tu stai supponendo che,ipotizzando che non vale il teorema, allora c'è un salto e cade la continuità. A me non pare sinceramente.
Tuttavia, ogni passaggio va spiegato opportunatamente, non puoi fare una dimostrazione intuitiva. Tu stai supponendo che,ipotizzando che non vale il teorema, allora c'è un salto e cade la continuità. A me non pare sinceramente.
"renat_":
[quote="matthewcrn7"]
E dico che se il teorema è sbagliato allora è vero che $\exists f(x-> (x_0)^-) >0$ e $\exists f(x-> (x_0)^+) <0$,
Come a fai a dirlo se non supponi che $f(x->x_0)->0$?[/quote]
Infatti proprio in quell'affermazione dico l'esatto opposto, la quale viene da un'osservazione visiva della funzione.
Sappiamo che f(a) * f (b) <0 e suppongo (per semplicità, ma il contrario non cambia nulla) che f(a) >0 e f(b) <0, la funzione quindi si ritrova per forza di cose ad essere per un po' positiva e per un po' negativa.
Una funzione per rispettare questa """proprietà""" (cioè di essere un po' positiva e un po' negativa) ha solo tre modi:
1) è sempre positiva e, all'improvviso, salta da f(x) >0 a f(x) <0 perchè f(b) <0 e f(b) è l'ultimo valore dell'intervallo [a, b]. Tutto ciò è geometricamente ovvio, non sto parlando di limiti né di altro.
2) Interseca l'asse delle x in un qualche punto appartenente all'intervallo, anche questo è geometricamente ovvio.
3) per un certo intervallo $ [a_1 ,b_1] sube [a, b] $ la funzione non è definita, ma allora f(x) non sarebbe continua in [a, b] ma in $ [a, a_1] uu [b_1, b] $ con $ f([a, a_1]) >0$ $\forall x in [a, a_1] $ e $ f([b_1, b]) < 0$ $\forall x in [b_1, b] $
1) Implica dicontinuità, quindi HP1 non rispettata
3) Non rispetta HP2, quindi il teorema non può essere applicato
2) E' l'unico caso che verifica HP1 e HP2. (E completa la dimostrazione)
"Ernesto01":
Tuttavia, ogni passaggio va spiegato opportunatamente, non puoi fare una dimostrazione intuitiva. Tu stai supponendo che,ipotizzando che non vale il teorema, allora c'è un salto e cade la continuità. A me non pare sinceramente.
Penso che sia la definizione "oppurtunamente" che non mi fa capire il perchè (giustamente) renat_ e tu diate """contro""" la mia dimostrazione, perchè per me i passaggi sono spiegati "oppurtunamente" perchè tutta la mia dimostrazione è un costatare fatti.
Di fatti posso riassumerla in:
1) La funzione è sicuramente positiva o negativa e devo dimostrare che si annulli da qualche parte nell'intervallo.
2) Suppongo falso ciò che voglio dimostrare.
3) Lo traduco geometricamente [cioè che il grafico sta sopra o sta sotto]
4) Se è sempre positiva o negativa è ovvio che ho due casi:
4.a) Punto di discontinuità con salto.
4.b) La funzione non è definita in tutto l'intervallo, quindi magari esiste uno (o più) interevalli in cui la funzione è sempre positiva o sempre negativa.
5) Noto che la (4.a) fa cadere la mia Hp1, quindi il teorema non sarebbe applicabile in una situazione del genere, e che la (4.b) fa cadere entrambe le ipotesi [perchè sarebbe una funzione definita in più intervalli (quindi niente HP1) i quali non sono "accettabili" per HP2] quindi ci deve essere un "terzo caso"
4.c) La funzione è continua in tutto [a, b] (=> R), f(a)*f(b) <0 [qui inizia il "terzo caso"] e da qualche parte passa in modo "continuo" ("senza staccare la penna dal foglio") per l'asse.
La 4.c la considero "opportunamente" spiegata perchè ho supposto che sia continua e che f(a)*f(b) < 0 [discordi]
[Conosco la dimostrazione per bisezione, ma a me non sembra così tanto dimostrativa. Sarà che non l'avrò capita così tanto bene come credo.]
"matthewcrn7":
[Conosco la dimostrazione per bisezione, ma a me non sembra così tanto dimostrativa. Sarà che non l'avrò capita così tanto bene come credo.]
Si può dire che l'analisi matematica si fonda sulla bisezione...
"matthewcrn7":
Infatti proprio in quell'affermazione dico l'esatto opposto, la quale viene da un'osservazione visiva della funzione.
Se vuoi proprio dimostrarla con un'osservazione visiva basta provare a collegare $f(b)$ e $f(a)$ (una positiva e una negativa) con una linea continua e osservare che è impossibile farlo senza intersecare l'asse x.
"matthewcrn7":
Tutto ciò è geometricamente ovvio, non sto parlando di limiti né di altro.
Il teorema degli zeri in se è geometricamente ovvio
"renat_":
[quote="matthewcrn7"]
[Conosco la dimostrazione per bisezione, ma a me non sembra così tanto dimostrativa. Sarà che non l'avrò capita così tanto bene come credo.]
Si può dire che l'analisi matematica si fonda sulla bisezione...
[/quote]
(Ho controllato, la dimostrazione per bisezione che avevo era incompleta)
"renat_":
[quote="matthewcrn7"]
Infatti proprio in quell'affermazione dico l'esatto opposto, la quale viene da un'osservazione visiva della funzione.
Se vuoi proprio dimostrarla con un'osservazione visiva basta provare a collegare $f(b)$ e $f(a)$ (una positiva e una negativa) con una linea continua e osservare che è impossibile farlo senza intersecare l'asse x.
[/quote]
Fondamentalmente è la base di tutta la mia dimostrazione, ho solo voluto renderla più "rigorosa" per renderla adatta ad un esame orale. (Evidentemente non è possibile(?))
"renat_":
[quote="matthewcrn7"]
Tutto ciò è geometricamente ovvio, non sto parlando di limiti né di altro.
Il teorema degli zeri in se è geometricamente ovvio[/quote]
Lo so, per questo mi sembrava abbastanza strano fare la dimostrazione per bisezione di una cosa che è così ovvia :/
Se il tuo professore ve l'ha dimostrato rigorosamente ti consiglio caldamente di studiarla in quel modo, anche se è altrettanto (se non d più) importante capirne il significato grafico; il mio professore di analisi 2, ad esempio, penalizzava molto persone che si imparavano a memoria tutti i passaggi della dimostrazione di un teorema senza capirne il significato e l'importanza nelle applicazioni.
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