Dimostrazione alternativa del criterio della derivata second

[Søren13]

Ho provato a dimostrare il teorema della derivata seconda in maniera diversa da quella fatta a lezione, quindi senza scomodare il teorema di permanenza del segno e imbarcarmi negli sviluppi di Taylor. Volevo sapere se la mia dimostrazione è ugualmente corretta.

Teorema: Se f è una funzione derivable in un intervallo I, e c è un punto interno ad I tale che f'(c) = 0 ed esiste la derivata seconda in c, allora se essa è maggiore [minore] di zero, allora c è punto di minimo [massimo] locale.

Dimostrazione.
Per ipotesi, la derivata seconda è positiva, dunque la derivata prima è strettamente crescente. Sempre per ipotesi la derivata prima in c è nulla, quindi per la crescenza stretta della funzione f' cambia di segno da positivo a negativo nel punto c. Quindi la funzione iniziale è strettamente crescente per x>c e viceversa strettamente decrescente per x

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Sk_Anonymous

30 apr 2016, 00:17

"Søren":[...] Per ipotesi, la derivata seconda è positiva, dunque la derivata prima è strettamente crescente. [...]

Senza ulteriori ipotesi sulla regolarità di \(f''\), direi che questo è falso. Controesempio: \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \[g(x)=\begin{cases} x + 2x^2 \cos (1/x) & \text{se } x \ne 0 \\ 0 & \text{se } x = 0. \end{cases} \]Se fai i conti via rapporto incrementale ti accorgi che \( g'(0)=1\), ma \(g\) non è monotona in nessun intorno di \(0\) (la derivata prima esiste ovunque, ma non è continua nell'origine). E' tardi, ma per come la vedo la dimostrazione con gli sviluppi di Taylor funziona proprio perché richiede l'esistenza delle derivate successive solo nel punto in questione.

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[Sk_Anonymous]

"Søren":[...] Per ipotesi, la derivata seconda è positiva, dunque la derivata prima è strettamente crescente. [...]

Senza ulteriori ipotesi sulla regolarità di \(f''\), direi che questo è falso. Controesempio: \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \[g(x)=\begin{cases} x + 2x^2 \cos (1/x) & \text{se } x \ne 0 \\ 0 & \text{se } x = 0. \end{cases} \]Se fai i conti via rapporto incrementale ti accorgi che \( g'(0)=1\), ma \(g\) non è monotona in nessun intorno di \(0\) (la derivata prima esiste ovunque, ma non è continua nell'origine). E' tardi, ma per come la vedo la dimostrazione con gli sviluppi di Taylor funziona proprio perché richiede l'esistenza delle derivate successive solo nel punto in questione.